Équations différentielles — Cours Maths Bac STM

Dans le programme du Bac STM

Coefficient 7 en Bac Sciences et Technologies Mécaniques, à égalité avec les Sciences de l'Ingénieur. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Chapitre court et rentable, entièrement fondé sur l'exponentielle et les fonctions trigonométriques ; il décrit des évolutions à taux constant et des oscillations.

À l'épreuve

Souvent un exercice à part : résoudre l'homogène, trouver une solution particulière constante pour y′ = ay + b, écrire la solution générale, exploiter y(0) et y′(0).

Objectifs d'apprentissage

Résoudre y′ = ay : y = Ceᵃˣ
Résoudre y′ = ay + b : y = Ceᵃˣ − b/a
Résoudre y″ + ω²y = 0 : y = A cos(ωx) + B sin(ωx)
Résoudre y″ + py′ + qy = 0 via r² + pr + q = 0
Déterminer les constantes à partir de conditions initiales

Notions clés

Premier ordre

y'=ay

y(x)=Ce^{ax}

y'=ay+b

(

a\neq 0

) :

y_p=-\dfrac{b}{a}

, d'où

y(x)=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}

Oscillateur

y''+\omega^2 y=0

y(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)

A

B

se fixent par

y(0)

y'(0)

Équation caractéristique

y''+py'+qy=0

: racines réelles

r_1\neq r_2

\Rightarrow y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}

; racine double

r

\Rightarrow y=(A+Bx)e^{rx}

; complexes

\alpha\pm i\beta

\Rightarrow y=e^{\alpha x}(A\cos\beta x+B\sin\beta x)

Erreurs fréquentes

Oublier la solution particulière dans y′ = ay + b.

Écrire la solution de y″ + ω²y = 0 avec des exponentielles réelles.

Se tromper de signe : y′ = −2y donne Ce^(−2x).

Fixer la constante avant la solution générale complète.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre

y'-4y=8

avec

y(0)=0

Correction

Homogène

y'=4y

y_h(x)=Ce^{4x}

Solution particulière constante

y_p

-4y_p=8

, donc

y_p=-2

Solution générale :

y(x)=Ce^{4x}-2

Condition :

y(0)=C-2=0

, donc

C=2

y(x)=2e^{4x}-2

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Résoudre

y'=-3y

avec

y(0)=4

Voir la correction

Solutions

y(x)=Ce^{-3x}

y(0)=C=4

, donc

y(x)=4e^{-3x}

Exercice 2

Moyen

Résoudre

y''+4y=0

avec

y(0)=3

y'(0)=2

Voir la correction

\omega=2

y(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x)

y(0)=A=3

y'(x)=-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)

, donc

y'(0)=2B=2

, soit

B=1

y(x)=3\cos(2x)+\sin(2x)

Exercice 3

Difficile

Résoudre

y''-5y'+6y=0

avec

y(0)=1

y'(0)=0

Voir la correction

Équation caractéristique

r^2-5r+6=0

, racines

r=2

r=3

. Solution générale

y(x)=Ae^{2x}+Be^{3x}

y(0)=A+B=1

y'(0)=2A+3B=0

. De

A=1-B

2-2B+3B=0

B=-2

A=3

. Donc

y(x)=3e^{2x}-2e^{3x}

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Questions fréquentes

Solution générale de y′ = ay + b ?

y(x) = Ceᵃˣ − b/a : solution de l'homogène plus solution particulière constante. C se fixe par une condition initiale.

Comment reconnaître un oscillateur ?

Une équation y″ + ω²y = 0 (ω² > 0). Ses solutions combinent cos(ωx) et sin(ωx), de période 2π/ω.

L'équation caractéristique est-elle au programme STM ?

Oui, pour y″ + py′ + qy = 0 : on résout r² + pr + q = 0 et on distingue trois cas selon le discriminant.