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Mathématiques · Bac STM · Coefficient 7

Calcul intégral — Cours Maths Bac STM

De la primitive à l'intégrale : propriétés, intégration par parties, valeur moyenne, et le calcul d'aires entre deux courbes.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac STM

Coefficient 7 en Bac Sciences et Technologies Mécaniques, à égalité avec les Sciences de l'Ingénieur. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Le calcul intégral clôt le bloc d'analyse et combine primitives, logarithme et exponentielle.

À l'épreuve

Un calcul d'intégrale par parties, une valeur moyenne, un calcul d'aire entre deux courbes, et parfois une suite d'intégrales (Iₙ).

Objectifs d'apprentissage

  • Relier intégrale et primitive : ∫ₐᵇ f(t) dt = F(b) − F(a)
  • Utiliser linéarité, relation de Chasles et positivité
  • Appliquer l'intégration par parties
  • Calculer une valeur moyenne
  • Calculer une aire entre deux courbes

Notions clés

Intégrale et primitive

Si FF est une primitive de ff continue sur [a,b][a,b] : ∫abf(t) dt=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a).

Propriétés

Linéarité, Chasles, positivité (si f≥0f\ge 0 alors ∫abf≥0\int_a^b f\ge 0 ; si f≤gf\le g alors ∫abf≤∫abg\int_a^b f\le\int_a^b g).

IPP, valeur moyenne, aire

∫abu′v dt=[uv]ab−∫abuv′ dt\displaystyle\int_a^b u'v\,dt=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b uv'\,dt. Valeur moyenne : μ=1b−a∫abf\mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f. Aire entre Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g (f≥gf\ge g) : ∫ab(f−g)\int_a^b(f-g).

Erreurs fréquentes

1

Écrire ∫ fg = (∫ f)(∫ g).

2

Oublier le crochet [uv]ₐᵇ dans une intégration par parties.

3

Calculer une aire par ∫ f quand f change de signe.

4

Ne pas vérifier laquelle des deux courbes est au-dessus.

Exemple corrigé

Énoncé

Calculer I=∫01(5x−2) ex dx\displaystyle I=\int_0^1(5x-2)\,e^{x}\,dx.

Correction

IPP : u′(x)=exu'(x)=e^{x}, v(x)=5x−2v(x)=5x-2, donc u(x)=exu(x)=e^{x}, v′(x)=5v'(x)=5.
I=[(5x−2)ex]01−∫015ex dxI=\big[(5x-2)e^{x}\big]_0^1-\displaystyle\int_0^1 5e^{x}\,dx.
[(5x−2)ex]01=3e−(−2)=3e+2\big[(5x-2)e^{x}\big]_0^1=3e-(-2)=3e+2 et ∫015ex dx=5(e−1)\displaystyle\int_0^1 5e^{x}\,dx=5(e-1).
I=(3e+2)−(5e−5)=7−2eI=(3e+2)-(5e-5)=7-2e.

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Exercice 1

Facile
Calculer ∫02(6x2−2x+1) dx\displaystyle\int_0^2(6x^2-2x+1)\,dx et ∫1e5t dt\displaystyle\int_1^{e}\dfrac{5}{t}\,dt.
Voir la correction
∫02(6x2−2x+1) dx=[2x3−x2+x]02=16−4+2=14\displaystyle\int_0^2(6x^2-2x+1)\,dx=\big[2x^3-x^2+x\big]_0^2=16-4+2=14. ∫1e5t dt=[5ln⁡t]1e=5\displaystyle\int_1^{e}\dfrac{5}{t}\,dt=\big[5\ln t\big]_1^{e}=5.

Exercice 2

Moyen
Calculer ∫01x2 ex dx\displaystyle\int_0^1 x^{2}\,e^{x}\,dx (on admet que ∫01x ex dx=1\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,dx=1).
Voir la correction
IPP : u′(x)=exu'(x)=e^{x}, v(x)=x2v(x)=x^2, donc u(x)=exu(x)=e^{x}, v′(x)=2xv'(x)=2x. ∫01x2ex dx=[x2ex]01−∫012x ex dx=e−2×1=e−2\displaystyle\int_0^1 x^2 e^{x}\,dx=\big[x^2 e^{x}\big]_0^1-\int_0^1 2x\,e^{x}\,dx=e-2\times 1=e-2.

Exercice 3

Difficile
Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes de f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x et g(x)=xg(x)=x sur [0;3][0;3].
Voir la correction
g(x)−f(x)=−x2+3x=x(3−x)≥0g(x)-f(x)=-x^2+3x=x(3-x)\ge 0 sur [0,3][0,3], donc g≥fg\ge f. Aire =∫03(3x−x2) dx=[3x22−x33]03=272−9=92=\displaystyle\int_0^{3}(3x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{3x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^{3}=\dfrac{27}{2}-9=\dfrac{9}{2} (unités d'aire).

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Questions fréquentes

Quand utiliser l'intégration par parties ?

Quand l'intégrande est un produit dont un facteur se simplifie en dérivant (tⁿ, ln t) et l'autre s'intègre facilement (eᵗ, cos t).

Comment calcule-t-on une aire entre deux courbes ?

On repère la courbe au-dessus (f ≥ g sur l'intervalle) et on calcule ∫ₐᵇ (f − g). Si les courbes se croisent, on découpe l'intervalle.

Qu'est-ce que la valeur moyenne d'une fonction ?

μ = 1/(b − a) · ∫ₐᵇ f(t) dt : la hauteur d'un rectangle de base [a, b] de même aire que celle sous la courbe.

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