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Mathématiques · Bac STM · Coefficient 7

Suites numériques — Cours Maths Bac STM

Récurrence, suites arithmétiques et géométriques, et l'étude des suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ) : bornes, monotonie, convergence.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac STM

Coefficient 7 en Bac Sciences et Technologies Mécaniques, à égalité avec les Sciences de l'Ingénieur. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Les suites sont le premier chapitre où la rédaction d'une récurrence est notée pour elle-même.

À l'épreuve

Une suite uₙ₊₁ = f(uₙ), encadrée par récurrence, dont on étudie la monotonie puis la convergence par le théorème de la limite monotone ; la limite se calcule par ℓ = f(ℓ). Une suite auxiliaire permet d'expliciter uₙ.

Objectifs d'apprentissage

  • Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique et calculer terme général et sommes
  • Rédiger une démonstration par récurrence
  • Encadrer une suite récurrente et étudier son sens de variation
  • Appliquer le théorème de la limite monotone
  • Utiliser une suite auxiliaire (géométrique, ou 1/uₙ) pour expliciter uₙ

Notions clés

Arithmétique et géométrique

Arithmétique : un=u0+nru_n=u_0+nr, ∑k=0n−1uk=n(u0+un−1)2\sum_{k=0}^{n-1}u_k=\dfrac{n(u_0+u_{n-1})}{2}. Géométrique : un=u0qnu_n=u_0q^n, ∑k=0n−1uk=u01−qn1−q\sum_{k=0}^{n-1}u_k=u_0\dfrac{1-q^n}{1-q} (q≠1q\neq 1).

Limite monotone

Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Si ff est continue en ℓ\ell, alors ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell).

Suite auxiliaire

Si un+1=a un+bu_{n+1}=a\,u_n+b (a≠1a\neq 1) : wn=un−b1−aw_n=u_n-\dfrac{b}{1-a} est géométrique de raison aa. Parfois on pose tn=1unt_n=\dfrac{1}{u_n} pour se ramener à une suite affine.

Erreurs fréquentes

1

Oublier l'initialisation dans une récurrence.

2

Annoncer la limite sans avoir prouvé la convergence.

3

Utiliser dans l'hérédité une propriété non établie.

4

Confondre « majorée » et « convergente ».

Exemple corrigé

Énoncé

Soit (un)(u_n) : u0=0u_0=0 et un+1=2un+8u_{n+1}=\sqrt{2u_n+8}. Montrer que (un)(u_n) converge et calculer sa limite.

Correction

Encadrement. Récurrence : 0≤un≤40\le u_n\le 4. Init. u0=0u_0=0. Hérédité : si 0≤un≤40\le u_n\le 4, alors 8≤2un+8≤168\le 2u_n+8\le 16, donc 22≤un+1≤42\sqrt2\le u_{n+1}\le 4.
Monotonie. Sur [0,4][0,4] : 2x+8≥x  ⟺  2x+8≥x2  ⟺  x2−2x−8≤0  ⟺  (x−4)(x+2)≤0\sqrt{2x+8}\ge x \iff 2x+8\ge x^2 \iff x^2-2x-8\le 0 \iff (x-4)(x+2)\le 0, vrai. Donc (un)(u_n) est croissante.
Convergence. Croissante et majorée par 44 ⇒\Rightarrow converge vers ℓ∈[0,4]\ell\in[0,4].
Limite. ℓ=2ℓ+8\ell=\sqrt{2\ell+8}, soit ℓ2−2ℓ−8=0\ell^2-2\ell-8=0 avec ℓ≥0\ell\ge 0 : ℓ=4\ell=4.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
(un)(u_n) est géométrique de premier terme u0=4u_0=4 et de raison q=2q=2. Calculer u6u_6 et S=u0+u1+⋯+u6S=u_0+u_1+\dots+u_6.
Voir la correction
u6=4×26=256u_6=4\times 2^6=256. S=u01−q71−q=4×1−1281−2=4×127=508S=u_0\dfrac{1-q^7}{1-q}=4\times\dfrac{1-128}{1-2}=4\times 127=508.

Exercice 2

Moyen
v0=0v_0=0 et vn+1=13vn+8v_{n+1}=\tfrac13 v_n+8. On pose wn=vn−12w_n=v_n-12. Montrer que (wn)(w_n) est géométrique, en déduire vnv_n et sa limite.
Voir la correction
wn+1=13vn+8−12=13(vn−12)=13wnw_{n+1}=\tfrac13 v_n+8-12=\tfrac13(v_n-12)=\tfrac13 w_n : géométrique de raison 13\tfrac13, w0=−12w_0=-12. Donc wn=−12(13)nw_n=-12\left(\tfrac13\right)^n et vn=12−12(13)nv_n=12-12\left(\tfrac13\right)^n, qui tend vers 1212.

Exercice 3

Difficile
u0=2u_0=2 et un+1=2unun+3u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{u_n+3}. Montrer que un>0u_n>0, que tn=1unt_n=\dfrac{1}{u_n} vérifie tn+1=32tn+12t_{n+1}=\tfrac32 t_n+\tfrac12, puis expliciter unu_n et lim⁡un\lim u_n.
Voir la correction
Par récurrence un>0u_n>0. Alors tn+1=un+32un=12+32un=32tn+12t_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{2u_n}=\dfrac12+\dfrac{3}{2u_n}=\tfrac32 t_n+\tfrac12. Point fixe t=−1t=-1. sn=tn+1s_n=t_n+1 vérifie sn+1=32sns_{n+1}=\tfrac32 s_n, avec s0=12+1=32s_0=\tfrac12+1=\tfrac32, donc sn=(32)n+1s_n=\left(\tfrac32\right)^{n+1} et tn=(32)n+1−1t_n=\left(\tfrac32\right)^{n+1}-1. Ainsi un=1(32)n+1−1u_n=\dfrac{1}{\left(\tfrac32\right)^{n+1}-1}, qui tend vers 00.

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Questions fréquentes

Comment démontrer qu'une suite récurrente converge ?

On l'encadre par récurrence, on montre qu'elle est monotone, puis on applique le théorème de la limite monotone. La limite se trouve en résolvant ℓ = f(ℓ).

Quand poser tₙ = 1/uₙ ?

Quand uₙ₊₁ = uₙ/(a·uₙ + b) devient affine en 1/uₙ. On explicite tₙ (souvent via une suite auxiliaire géométrique) puis on revient à uₙ.

Une suite bornée est-elle convergente ?

Pas nécessairement. Il faut la monotonie : une suite croissante majorée, ou décroissante minorée, converge.

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