Fonctions exponentielles — Cours Maths Bac STM

Dans le programme du Bac STM

Coefficient 7 en Bac Sciences et Technologies Mécaniques, à égalité avec les Sciences de l'Ingénieur. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Traitée juste après le logarithme, l'exponentielle est l'objet de l'autre problème d'analyse et modélise les évolutions à taux constant.

À l'épreuve

Résolution d'une équation par le changement X = eˣ, étude d'une fonction x ↦ (x + b)eˣ, limites avec croissances comparées, et une inégalité démontrée par étude de signe (convexité).

Objectifs d'apprentissage

Utiliser exp comme réciproque de ln : eˡⁿ ᵃ = a, eᵃ⁺ᵇ = eᵃ · eᵇ
Résoudre une équation exponentielle par le changement X = eˣ (X > 0)
Connaître les limites : eˣ → +∞, eˣ/x → +∞, x eˣ → 0 en −∞
Dériver une exponentielle composée : (eᵘ)′ = u′eᵘ
Démontrer une inégalité par étude de la fonction associée

Notions clés

Propriétés

e^{\ln a}=a

(

a>0

\ln(e^x)=x

e^{a+b}=e^a e^b

e^{-a}=\frac{1}{e^a}

e^0=1

\exp

strictement croissante et

>0

Limites

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^x=0

Dérivée et convexité

(e^x)'=e^x

(e^{u})'=u'e^{u}

\exp

est convexe :

e^x\ge 1+x

pour tout

x

Erreurs fréquentes

Oublier la contrainte X = eˣ > 0.

Écrire eᵃ⁺ᵇ = eᵃ + eᵇ.

Confondre eˣ/x → +∞ (comparée) et une forme non levée.

Dériver e^(u) sans le facteur u′.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre dans

\mathbb{R}

e^{2x}-9e^{x}+20=0

Correction

On pose

X=e^{x}

X>0

. L'équation devient

X^2-9X+20=0

X^2-9X+20=(X-4)(X-5)=0

, donc

X=4

X=5

e^{x}=4 \iff x=\ln 4

;

e^{x}=5 \iff x=\ln 5

S=\{\ln 4,\ \ln 5\}

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Résoudre dans

\mathbb{R}

e^{2x+3}=e^{5}

Voir la correction

Par stricte croissance de

\exp

2x+3=5

, soit

x=1

Exercice 2

Moyen

Calculer

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x^3+1)e^{-x}

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^2-3x)e^{x}

Voir la correction

(x^3+1)e^{-x}=\dfrac{x^3+1}{e^{x}}\to 0

par croissance comparée.

(x^2-3x)e^{x}\to 0

-\infty

Exercice 3

Difficile

Montrer que pour tout

x\ge 0

e^{x}\ge 1+x+\dfrac{x^{2}}{2}

Voir la correction

Posons

g(x)=e^{x}-1-x-\dfrac{x^2}{2}

g(0)=0

g'(x)=e^{x}-1-x

g'(0)=0

g''(x)=e^{x}-1\ge 0

pour

x\ge 0

, donc

g'

croît et

g'(x)\ge 0

. Donc

g

croît sur

[0,+\infty[

g(x)\ge g(0)=0

, d'où

e^{x}\ge 1+x+\dfrac{x^2}{2}

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Questions fréquentes

Comment résoudre une équation exponentielle ?

Si elle est polynomiale en eˣ, on pose X = eˣ (X > 0), on résout en X, puis x = ln X pour chaque solution positive.

Pourquoi eˣ croît-il si vite ?

Parce que eˣ/xⁿ → +∞ pour tout n : l'exponentielle dépasse à terme n'importe quelle puissance de x.

exp et ln, quelle relation ?

Fonctions réciproques : on passe de l'une à l'autre pour résoudre équations et inéquations, et pour transformer aˣ = e^(x ln a).