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Mathématiques · Bac STM · Coefficient 7

Nombres complexes — Cours Maths Bac STM

Les trois formes d'un complexe, module et argument, la formule de Moivre, les racines n-ièmes, et l'usage géométrique : rotations, natures de triangles, lieux.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac STM

Coefficient 7 en Bac Sciences et Technologies Mécaniques, à égalité avec les Sciences de l'Ingénieur. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Chapitre transversal mêlant calcul algébrique, trigonométrie et géométrie du plan : presque toujours l'objet d'un exercice complet.

À l'épreuve

Un exercice en deux temps : calcul (forme exponentielle, résolution d'une équation, racines n-ièmes, Moivre), puis géométrie (nature d'un triangle, écriture complexe d'une rotation, lieu de points).

Objectifs d'apprentissage

  • Passer d'une forme algébrique à la forme trigonométrique et exponentielle
  • Calculer module et argument d'un produit, d'un quotient, d'une puissance
  • Appliquer la formule de Moivre
  • Déterminer les racines n-ièmes d'un nombre complexe
  • Interpréter |z − a|, arg((z − b)/(z − a)) et l'écriture d'une rotation

Notions clés

Formes et module-argument

z=x+iy=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθz=x+iy=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}, r=∣z∣=x2+y2r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}. ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣|z_1z_2|=|z_1||z_2|, arg⁡(z1z2)=arg⁡z1+arg⁡z2\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2.

Moivre et racines n-ièmes

(eiθ)n=einθ(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}. Les racines nn-ièmes de a=ρeiφa=\rho e^{i\varphi} sont zk=ρ1/nei(φn+2kπn)z_k=\rho^{1/n}e^{i\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}, k=0,…,n−1k=0,\dots,n-1.

Interprétation géométrique

∣z−a∣|z-a| = distance AMAM. arg⁡z−bz−a=(AM→,BM→)\arg\dfrac{z-b}{z-a}=(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM}). Rotation de centre Ω(ω)\Omega(\omega), angle θ\theta : z′−ω=eiθ(z−ω)z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega).

Erreurs fréquentes

1

Donner un argument sans préciser modulo 2π.

2

Oublier une racine n-ième : il y en a exactement n.

3

Confondre |z₁ + z₂| et |z₁| + |z₂|.

4

Écrire la rotation z′ = e^(iθ) z quand le centre n'est pas l'origine.

Exemple corrigé

Énoncé

Mettre z=−1+iz=-1+i sous forme exponentielle, puis calculer z4z^{4}.

Correction

∣z∣=1+1=2|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt2.
cos⁡θ=−12\cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt2}, sin⁡θ=12\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt2}, donc θ=3π4\theta=\dfrac{3\pi}{4} : z=2 ei 3π/4z=\sqrt2\,e^{i\,3\pi/4}.
z4=(2)4 ei⋅3π=4 ei 3πz^{4}=(\sqrt2)^{4}\,e^{i\cdot 3\pi}=4\,e^{i\,3\pi}.
ei 3π=eiπ=−1e^{i\,3\pi}=e^{i\pi}=-1, donc z4=−4z^{4}=-4.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Écrire z=3+iz=\sqrt{3}+i sous forme trigonométrique puis exponentielle.
Voir la correction
∣z∣=3+1=2|z|=\sqrt{3+1}=2. cos⁡θ=32\cos\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}, sin⁡θ=12\sin\theta=\dfrac{1}{2}, donc θ=π6\theta=\dfrac{\pi}{6}. z=2(cos⁡π6+isin⁡π6)=2eiπ/6z=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)=2e^{i\pi/6}.

Exercice 2

Moyen
Résoudre dans C\mathbb{C} : z3=27z^{3}=27.
Voir la correction
27=27ei⋅027=27e^{i\cdot 0}, donc zk=3ei 2kπ/3z_k=3e^{i\,2k\pi/3}, k=0,1,2k=0,1,2 : z0=3z_0=3, z1=3ei 2π/3=−32+332iz_1=3e^{i\,2\pi/3}=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt3}{2}i, z2=3e−i 2π/3=−32−332iz_2=3e^{-i\,2\pi/3}=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\sqrt3}{2}i.

Exercice 3

Difficile
Soient A(2)A(2), B(2i)B(2i), C(−2)C(-2), D(−2i)D(-2i). Quelle est la nature du quadrilatère ABCDABCD ?
Voir la correction
Les quatre affixes ont pour module 22 et pour arguments 00, π2\dfrac{\pi}{2}, π\pi, 3π2\dfrac{3\pi}{2} : les points sont régulièrement répartis sur le cercle de centre OO et de rayon 22. Les diagonales [AC][AC] et [BD][BD] ont même longueur 44, se coupent en leur milieu OO et sont perpendiculaires : ABCDABCD est un carré.

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Questions fréquentes

Comment mettre un complexe sous forme exponentielle ?

On calcule r = √(x² + y²), puis θ tel que cos θ = x/r et sin θ = y/r. Alors z = r e^(iθ).

Combien de racines n-ièmes ?

Exactement n, réparties régulièrement sur un cercle centré à l'origine, de rayon la racine n-ième du module.

Comment reconnaître une figure avec des affixes ?

On calcule (c − a)/(b − a) : son module compare AC et AB, son argument donne l'angle en A. Module 1 et argument π/2 : rectangle isocèle en A ; argument π/3 : équilatéral.

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