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Mathématiques · Bac STM · Coefficient 7

Géométrie dans l'espace — Cours Maths Bac STM

Le repère de l'espace : produit scalaire, équation d'un plan, distance d'un point à un plan, représentation d'une droite, sphère et positions relatives.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac STM

Coefficient 7 en Bac Sciences et Technologies Mécaniques, à égalité avec les Sciences de l'Ingénieur. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. La géométrie dans l'espace fournit le socle vectoriel des torseurs et de la statique du solide étudiés en Sciences de l'Ingénieur.

À l'épreuve

L'exercice de géométrie : équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal, distance point-plan, intersection d'une droite et d'un plan, étude d'une sphère (centre, rayon, plan tangent).

Objectifs d'apprentissage

  • Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormé et tester l'orthogonalité
  • Déterminer l'équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal
  • Calculer la distance d'un point à un plan
  • Écrire une représentation paramétrique de droite et étudier une intersection droite/plan
  • Reconnaître l'équation d'une sphère et étudier ses positions relatives

Notions clés

Produit scalaire

u⃗(x,y,z)⋅v⃗(x′,y′,z′)=xx′+yy′+zz′\vec{u}(x,y,z)\cdot\vec{v}(x',y',z')=xx'+yy'+zz'. ∥u⃗∥=x2+y2+z2\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v \iff \vec u\cdot\vec v=0.

Plan et distance

Plan par AA de normal n⃗(a,b,c)\vec n(a,b,c) : a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0. d(M,P)=∣axM+byM+czM+d∣a2+b2+c2d(M,P)=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

Droite et sphère

Droite par AA de vecteur directeur u⃗\vec u : AM→=t u⃗\overrightarrow{AM}=t\,\vec u. Sphère de centre Ω(a,b,c)\Omega(a,b,c), rayon RR : (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.

Erreurs fréquentes

1

Prendre le vecteur normal dans le mauvais sens en écrivant l'équation d'un plan.

2

Oublier la valeur absolue au numérateur de la distance point-plan.

3

Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan.

4

Oublier la racine (norme du vecteur normal) au dénominateur de la distance.

Exemple corrigé

Énoncé

Soit PP le plan passant par A(0,1,2)A(0,1,2) de vecteur normal n⃗(1,−2,2)\vec n(1,-2,2). Donner une équation cartésienne de PP, puis la distance de B(3,0,1)B(3,0,1) à PP.

Correction

Équation. 1(x−0)−2(y−1)+2(z−2)=01(x-0)-2(y-1)+2(z-2)=0, soit x−2y+2z−2=0x-2y+2z-2=0.
Vérification. A(0,1,2)A(0,1,2) : 0−2(1)+2(2)−2=00-2(1)+2(2)-2=0 ✓.
Distance. d(B,P)=∣3−2(0)+2(1)−2∣12+(−2)2+22=∣3+2−2∣9=33d(B,P)=\dfrac{|3-2(0)+2(1)-2|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=\dfrac{|3+2-2|}{\sqrt{9}}=\dfrac{3}{3}.
d(B,P)=1d(B,P)=1.

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Exercice 1

Facile
Les vecteurs u⃗(1,3,−2)\vec u(1,3,-2) et v⃗(2,0,1)\vec v(2,0,1) sont-ils orthogonaux ?
Voir la correction
u⃗⋅v⃗=1×2+3×0+(−2)×1=2+0−2=0\vec u\cdot\vec v=1\times 2+3\times 0+(-2)\times 1=2+0-2=0. Ils sont orthogonaux.

Exercice 2

Moyen
Déterminer l'équation de la sphère de centre Ω(2,0,−1)\Omega(2,0,-1) passant par A(2,2,0)A(2,2,0).
Voir la correction
R2=ΩA2=(2−2)2+(2−0)2+(0+1)2=0+4+1=5R^2=\Omega A^2=(2-2)^2+(2-0)^2+(0+1)^2=0+4+1=5, donc R=5R=\sqrt5. Équation : (x−2)2+y2+(z+1)2=5(x-2)^2+y^2+(z+1)^2=5.

Exercice 3

Difficile
Déterminer l'intersection de la droite (D): (x,y,z)=(1+t, 2t, 1−t)(D):\ (x,y,z)=(1+t,\ 2t,\ 1-t) avec le plan P: x+2y−z−4=0P:\ x+2y-z-4=0.
Voir la correction
On remplace : (1+t)+2(2t)−(1−t)−4=0  ⟺  1+t+4t−1+t−4=0  ⟺  6t−4=0  ⟺  t=23(1+t)+2(2t)-(1-t)-4=0 \iff 1+t+4t-1+t-4=0 \iff 6t-4=0 \iff t=\dfrac{2}{3}. Le point d'intersection est (1+23, 43, 1−23)=(53, 43, 13)\left(1+\dfrac23,\ \dfrac43,\ 1-\dfrac23\right)=\left(\dfrac53,\ \dfrac43,\ \dfrac13\right). Vérification : 53+83−13−4=123−4=0\dfrac53+\dfrac83-\dfrac13-4=\dfrac{12}{3}-4=0 ✓.

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Questions fréquentes

Comment trouver l'équation d'un plan ?

Il faut un point A du plan et un vecteur normal n⃗(a, b, c). L'équation est a(x − x_A) + b(y − y_A) + c(z − z_A) = 0.

À quoi sert la distance d'un point à un plan ?

À vérifier si un plan est tangent à une sphère (distance du centre = rayon), calculer un volume, ou trouver un projeté orthogonal.

Le produit scalaire dans l'espace sert-il en Sciences de l'Ingénieur ?

Oui : projections, moments et travail de forces s'expriment avec le produit scalaire. L'épreuve de maths l'évalue toutefois sur des exercices de géométrie pure.

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