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المحاسبة والرياضيات المالية · Bac SGC · المعامل 8

Le choix des investissements — Cours Mathématiques financières Bac SGC

Acheter une machine à 500 000 DH, c'est renoncer à 500 000 DH aujourd'hui contre des recettes étalées sur plusieurs années. Pour savoir si l'opération vaut la peine, on ramène chaque flux futur à sa valeur d'aujourd'hui — c'est l'actualisation des annuités, appliquée à une décision d'entreprise.

راجعه Équipe Orka · 18 أكتوبر 2026

ضمن برنامج بكالوريا SGC

Coefficient 8 en Bac Sciences de Gestion Comptable : la matière la plus lourde de la filière, devant l'EOAE (coefficient 6). Le cadre de référence 2025 associe comptabilité générale, comptabilité analytique et mathématiques financières ; l'analyse comptable relie les états de synthèse aux décisions de financement étudiées en EOAE.

في الامتحان

Un projet est décrit (montant, durée, mode d'amortissement, chiffre d'affaires et charges décaissables, taux d'IS, valeur résiduelle, BFR) : calculer le capital investi et les flux nets de trésorerie, puis la VAN au taux donné, l'indice de profitabilité, le délai de récupération actualisé, et parfois le TIR par interpolation linéaire. On conclut sur la rentabilité, ou l'on choisit entre deux projets.

أهداف التعلم

  • Déterminer le capital investi (coût d'acquisition, frais accessoires, BFR initial)
  • Calculer les flux nets de trésorerie : résultat net + dotations aux amortissements
  • Intégrer la valeur résiduelle et la récupération du BFR au dernier flux
  • Calculer et interpréter la VAN et l'indice de profitabilité
  • Encadrer puis estimer le TIR par interpolation linéaire
  • Calculer le délai de récupération actualisé et choisir entre deux projets

المفاهيم الأساسية

Le capital investi

Le capital investi I0I_0 est la dépense engagée à la date 0 : prix d'acquisition hors taxes, frais accessoires (transport, installation) et besoin en fonds de roulement initial que le projet immobilise (stocks, crédit clients). Le BFR n'est pas une charge : il est récupéré à la fin du projet.

Les flux nets de trésorerie (cash-flows)

Chaque année, le projet dégage CF=reˊsultat net+dotations aux amortissementsCF = \text{résultat net} + \text{dotations aux amortissements}, car la dotation est une charge non décaissable : elle réduit l'impôt sans sortir d'argent. Méthode du tableau : chiffre d'affaires − charges décaissables − dotations = résultat avant impôt ; − IS = résultat net ; + dotations = flux net. Formule équivalente : CF=(CA−charges deˊcaissables)(1−t)+t×dotationCF = (CA - \text{charges décaissables})(1 - t) + t \times \text{dotation}, où tt est le taux d'IS. La dernière année, on ajoute la valeur résiduelle nette d'impôt et la récupération du BFR.

La valeur actuelle nette (VAN)

On actualise chaque flux au taux ii (coût du capital) : VAN=∑k=1nCFk(1+i)−k−I0VAN = \sum_{k=1}^{n} CF_k (1 + i)^{-k} - I_0. Si les flux sont constants, on utilise la valeur actuelle d'une suite d'annuités : VAN=CF×1−(1+i)−ni−I0VAN = CF \times \dfrac{1 - (1 + i)^{-n}}{i} - I_0. VAN > 0 : le projet rapporte plus que le taux exigé, il est rentable. VAN < 0 : il est rejeté. Entre deux projets de même montant et de même durée, on retient la VAN la plus forte.

L'indice de profitabilité (IP)

IP=∑CFk(1+i)−kI0=1+VANI0IP = \dfrac{\sum CF_k (1 + i)^{-k}}{I_0} = 1 + \dfrac{VAN}{I_0}. Il mesure ce que rapporte 1 DH investi, en valeur actuelle. Le projet est rentable si IP>1IP > 1. Il sert à comparer des projets de montants différents.

Le taux interne de rentabilité (TIR)

Le TIR est le taux tt pour lequel VAN=0VAN = 0, c'est-à-dire ∑CFk(1+t)−k=I0\sum CF_k (1 + t)^{-k} = I_0. On l'encadre entre deux taux qui donnent une VAN de signes contraires, puis on l'estime par interpolation linéaire : t≈t1+(t2−t1)×VAN1VAN1−VAN2t \approx t_1 + (t_2 - t_1) \times \dfrac{VAN_1}{VAN_1 - VAN_2}. Le projet est accepté si TIR > taux d'actualisation exigé.

Le délai de récupération du capital investi (DRCI)

C'est le temps nécessaire pour que le cumul des flux actualisés égale I0I_0. On cumule année par année ; quand le cumul dépasse I0I_0, on interpole dans l'année : fraction=I0−cumul de l’anneˊe preˊceˊdenteflux actualiseˊ de l’anneˊe\text{fraction} = \dfrac{I_0 - \text{cumul de l'année précédente}}{\text{flux actualisé de l'année}}. Plus le délai est court, moins le projet est risqué. Il complète la VAN sans la remplacer : il ignore les flux qui arrivent après la récupération.

الأخطاء الشائعة

1
Calculer le flux net sans rajouter la dotation aux amortissements : elle est déduite pour l'impôt mais ne sort pas de la trésorerie.
2
Oublier l'IS ou l'appliquer avant de déduire la dotation : l'impôt porte sur le résultat après amortissement.
3
Oublier la valeur résiduelle et la récupération du BFR dans le flux de la dernière année.
4
Actualiser le capital investi : I0I_0 est déjà à la date 0, son coefficient est 1.
5
Interpoler le TIR entre deux taux qui donnent une VAN de même signe : l'encadrement doit changer de signe.

مثال محلول

نص السؤال

La société Atlas Emballage envisage l'achat d'une machine de 500 000 DH HT, amortie linéairement sur 5 ans, sans valeur résiduelle. Elle prévoit un chiffre d'affaires annuel de 600 000 DH et des charges décaissables de 380 000 DH. Taux d'IS : 30 %. Taux d'actualisation : 10 %. Calculer les flux nets de trésorerie, la VAN, l'indice de profitabilité, le délai de récupération actualisé, puis encadrer le TIR.

التصحيح

Dotation annuelle. 500 000/5=100 000500\,000 / 5 = 100\,000 DH.
Flux net annuel (en milliers de DH). Résultat avant impôt =600−380−100=120= 600 - 380 - 100 = 120 ; IS =120×30 %=36= 120 \times 30\,\% = 36 ; résultat net =84= 84 ; flux net =84+100=184= 84 + 100 = 184. Vérification : (600−380)(1−0,3)+0,3×100=154+30=184(600 - 380)(1 - 0{,}3) + 0{,}3 \times 100 = 154 + 30 = 184.
VAN. Les flux sont constants : 1−1,1−50,1≈3,790787\dfrac{1 - 1{,}1^{-5}}{0{,}1} \approx 3{,}790787. VAN=184×3,790787−500≈697,505−500=197,505VAN = 184 \times 3{,}790787 - 500 \approx 697{,}505 - 500 = 197{,}505, soit environ 197 505 DH : le projet est rentable.
Indice de profitabilité. IP=697,505500≈1,395IP = \dfrac{697{,}505}{500} \approx 1{,}395 : chaque dirham investi rapporte environ 1,40 DH en valeur actuelle.
DRCI. Flux actualisés cumulés : année 1 : 167,273 ; année 2 : 319,339 ; année 3 : 457,581 ; année 4 : 583,255. Le capital est récupéré pendant l'année 4 : 500−457,581125,675≈0,34\dfrac{500 - 457{,}581}{125{,}675} \approx 0{,}34 an, soit environ 4 mois. DRCI ≈ 3 ans et 4 mois.
TIR. À 24 % : VAN≈+5,15VAN \approx +5{,}15 ; à 25 % : VAN≈−5,17VAN \approx -5{,}17. Interpolation : t≈24 %+1 %×5,155,15+5,17≈24,5 %t \approx 24\,\% + 1\,\% \times \dfrac{5{,}15}{5{,}15 + 5{,}17} \approx 24{,}5\,\%. Le TIR (24,5 %) dépasse largement le taux exigé (10 %) : le projet est accepté.

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التمرين 1

Facile
Un investissement de 200 000 DH génère des flux nets de trésorerie constants de 60 000 DH pendant 5 ans. Taux d'actualisation : 8 %. Calculer la VAN et l'indice de profitabilité. Le projet est-il rentable ?
عرض التصحيح
1−1,08−50,08≈3,992710\dfrac{1 - 1{,}08^{-5}}{0{,}08} \approx 3{,}992710. Valeur actuelle des flux =60 000×3,992710≈239 563= 60\,000 \times 3{,}992710 \approx 239\,563 DH. VAN≈239 563−200 000=39 563VAN \approx 239\,563 - 200\,000 = 39\,563 DH >0> 0. IP≈239 563200 000≈1,20IP \approx \dfrac{239\,563}{200\,000} \approx 1{,}20. Le projet est rentable.

التمرين 2

Moyen
Projet : matériel de 300 000 DH amorti linéairement sur 4 ans ; BFR initial de 20 000 DH récupéré en fin de projet ; valeur résiduelle nette d'impôt de 30 000 DH en fin d'année 4. Chiffre d'affaires annuel 400 000 DH, charges décaissables 250 000 DH, IS 30 %, taux d'actualisation 12 %. Calculer le capital investi, les flux nets et la VAN.
عرض التصحيح
Capital investi =300 000+20 000=320 000= 300\,000 + 20\,000 = 320\,000 DH. Dotation =75 000= 75\,000. Résultat avant impôt =400 000−250 000−75 000=75 000= 400\,000 - 250\,000 - 75\,000 = 75\,000 ; IS =22 500= 22\,500 ; résultat net =52 500= 52\,500 ; flux net annuel =52 500+75 000=127 500= 52\,500 + 75\,000 = 127\,500 DH. Année 4 : 127 500+30 000+20 000=177 500127\,500 + 30\,000 + 20\,000 = 177\,500 DH. VAN=127 500×1−1,12−40,12+50 000×1,12−4−320 000≈387 262+31 776−320 000≈99 038VAN = 127\,500 \times \dfrac{1 - 1{,}12^{-4}}{0{,}12} + 50\,000 \times 1{,}12^{-4} - 320\,000 \approx 387\,262 + 31\,776 - 320\,000 \approx 99\,038 DH. Le projet est rentable.

التمرين 3

Difficile
Deux projets coûtent chacun 100 000 DH et durent 5 ans. Projet A : flux constants de 30 000 DH. Projet B : flux de 10 000, 20 000, 30 000, 40 000 et 50 000 DH. Taux d'actualisation : 10 %. 1) Calculer la VAN de chaque projet. 2) Estimer le TIR du projet A, sachant qu'à 15 % sa VAN vaut 564,65 DH et à 16 % −1 771,19 DH. 3) Quel projet retenir ?
عرض التصحيح
  1. VANA=30 000×3,790787−100 000≈13 724VAN_A = 30\,000 \times 3{,}790787 - 100\,000 \approx 13\,724 DH. VANB=10 0001,1+20 0001,12+30 0001,13+40 0001,14+50 0001,15−100 000≈106 526−100 000=6 526VAN_B = \dfrac{10\,000}{1{,}1} + \dfrac{20\,000}{1{,}1^2} + \dfrac{30\,000}{1{,}1^3} + \dfrac{40\,000}{1{,}1^4} + \dfrac{50\,000}{1{,}1^5} - 100\,000 \approx 106\,526 - 100\,000 = 6\,526 DH. 2) TIRA≈15 %+1 %×564,65564,65+1 771,19≈15,24 %TIR_A \approx 15\,\% + 1\,\% \times \dfrac{564{,}65}{564{,}65 + 1\,771{,}19} \approx 15{,}24\,\%. 3) Les deux VAN sont positives, mais A a la plus forte VAN pour le même montant et la même durée, et ses flux arrivent plus tôt (moins de risque) : on retient le projet A. Les deux projets rapportent 150 000 DH au total, mais les flux de B arrivent plus tard et valent donc moins une fois actualisés.

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الأسئلة الشائعة

Pourquoi ajoute-t-on la dotation aux amortissements au résultat net ?

Parce que la dotation est une charge calculée : elle diminue le résultat et donc l'impôt, mais aucune somme ne sort de la caisse. Pour retrouver l'argent réellement dégagé par le projet, on la rajoute au résultat net.

Quel taux d'actualisation utiliser ?

Celui que donne l'énoncé : c'est le coût du capital, le rendement minimal exigé par l'entreprise. À l'examen, il est toujours fourni ; ton travail est de l'appliquer correctement à chaque flux selon son année.

VAN et TIR peuvent-ils donner des conclusions différentes ?

Pour un projet seul, non : VAN > 0 équivaut à TIR > taux exigé. Pour comparer deux projets de tailles ou de calendriers très différents, ils peuvent diverger ; la VAN est alors le critère de référence, car elle mesure la richesse créée en dirhams.

Ce chapitre est-il au programme de la filière Sciences économiques ?

Non. Les mathématiques financières (annuités, emprunts indivis, choix des investissements) font partie du programme de Sciences de gestion comptable uniquement.

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