Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe — Cours Physique Bac SMB

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 7 en Bac SMB, et lien direct avec les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 3), où la dynamique du solide en rotation (arbres, volants d'inertie, réducteurs) est un attendu. Le chapitre exploite l'analogie translation ↔ rotation : m ↔ J, F ↔ M, a ↔ θ̈, ce qui en fait un excellent test de compréhension de la 2ᵉ loi de Newton.

À l'épreuve

Calculer le moment d'une ou plusieurs forces (bras de levier), appliquer $J_\Delta\,\ddot\theta=\sum M_\Delta(\vec F_{ext})$ pour trouver l'accélération angulaire, exploiter les équations d'une rotation uniformément variée ($\omega=\omega_0+\ddot\theta\,t$, $\theta=\omega_0 t+\frac12\ddot\theta\,t^{2}$) et calculer un nombre de tours ou l'énergie cinétique de rotation.

Objectifs d'apprentissage

Définir l'abscisse angulaire, la vitesse angulaire ω et l'accélération angulaire θ̈, et utiliser v = R·ω
Calculer le moment d'une force par rapport à un axe (bras de levier)
Énoncer la relation fondamentale de la dynamique de rotation J_Δ·θ̈ = Σ M_Δ(F⃗_ext)
Exploiter les équations horaires d'une rotation uniformément variée
Calculer l'énergie cinétique de rotation ½J_Δ·ω²

Notions clés

Cinématique angulaire

Abscisse angulaire

\theta(t)

(rad), vitesse angulaire

\omega=\dfrac{d\theta}{dt}

(rad/s), accélération angulaire

\ddot\theta=\dfrac{d\omega}{dt}

(rad/s²). Un point à la distance

R

de l'axe a une vitesse linéaire

v=R\,\omega

Moment d'une force et moment d'inertie

Moment de

\vec F

par rapport à l'axe

\Delta

M_\Delta(\vec F)=\pm F\,d

, où

d

est le bras de levier (distance de l'axe à la droite d'action). Le moment d'inertie

J_\Delta

(kg·m²) mesure la répartition de la masse autour de l'axe.

Relation fondamentale et énergie

J_\Delta\,\ddot\theta=\displaystyle\sum M_\Delta(\vec F_{ext})

. Si

\sum M_\Delta

est constant : rotation uniformément variée,

\omega(t)=\omega_0+\ddot\theta\,t

\theta(t)=\theta_0+\omega_0 t+\dfrac12\ddot\theta\,t^{2}

. Énergie cinétique de rotation :

E_c=\dfrac12 J_\Delta\,\omega^{2}

Erreurs fréquentes

Prendre la distance de l'axe au point d'application au lieu du bras de levier (distance de l'axe à la droite d'action de la force).

Confondre moment d'inertie J (kg·m²) et masse : J dépend aussi de la façon dont la masse est répartie autour de l'axe.

Utiliser des degrés pour ω : la relation v = R·ω et J·θ̈ = Σ M exigent des radians.

Exemple corrigé

Énoncé

Un disque de moment d'inertie

J_\Delta=0{,}020\ \text{kg·m}^{2}

, initialement au repos, est entraîné par un couple moteur de moment constant

M=0{,}10\ \text{N·m}

. Déterminer l'accélération angulaire, la vitesse angulaire après

4{,}0\ \text{s}

et le nombre de tours effectués.

Correction

Accélération angulaire.

J_\Delta\,\ddot\theta=M\Rightarrow\ddot\theta=\dfrac{M}{J_\Delta}=\dfrac{0{,}10}{0{,}020}=5{,}0\ \text{rad/s}^{2}

Vitesse angulaire.

\omega(4{,}0)=\ddot\theta\,t=5{,}0\times4{,}0=20\ \text{rad/s}

Angle balayé.

\theta=\dfrac12\ddot\theta\,t^{2}=\dfrac12\times5{,}0\times(4{,}0)^{2}=40\ \text{rad}

Nombre de tours.

n=\dfrac{\theta}{2\pi}=\dfrac{40}{2\pi}\approx 6{,}4\ \text{tours}

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un point d'un solide en rotation est à

R=0{,}30\ \text{m}

de l'axe ; la vitesse angulaire vaut

\omega=10\ \text{rad/s}

. Calculer sa vitesse linéaire.

Voir la correction

v=R\,\omega=0{,}30\times10=3{,}0\ \text{m/s}

Exercice 2

Moyen

Une force

F=20\ \text{N}

est appliquée tangentiellement à la jante d'une poulie de rayon

R=0{,}15\ \text{m}

. Calculer le moment de cette force par rapport à l'axe de la poulie.

Voir la correction

La force étant tangente, le bras de levier est

R

M_\Delta(\vec F)=F\,R=20\times0{,}15=3{,}0\ \text{N·m}

Exercice 3

Difficile

Un volant d'inertie

J_\Delta=0{,}50\ \text{kg·m}^{2}

tourne à

\omega_0=60\ \text{rad/s}

. Un couple de freinage constant l'arrête en

15\ \text{s}

. Déterminer le moment du couple de freinage et le nombre de tours effectués avant l'arrêt.

Voir la correction

\ddot\theta=\dfrac{0-\omega_0}{t}=\dfrac{-60}{15}=-4{,}0\ \text{rad/s}^{2}

. Moment :

M=J_\Delta\,\ddot\theta=0{,}50\times(-4{,}0)=-2{,}0\ \text{N·m}

(soit

2{,}0\ \text{N·m}

opposé au mouvement). Angle :

\theta=\omega_0 t+\dfrac12\ddot\theta\,t^{2}=60\times15+\dfrac12(-4{,}0)(15)^{2}=900-450=450\ \text{rad}

, soit

n=\dfrac{450}{2\pi}\approx 71{,}6\ \text{tours}

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que le bras de levier d'une force ?

C'est la distance entre l'axe de rotation et la droite d'action de la force (mesurée perpendiculairement). Le moment vaut M = ±F·d : une force dont la droite d'action passe par l'axe a un bras de levier nul, donc un moment nul.

Que représente le moment d'inertie J_Δ ?

L'analogue de la masse pour la rotation : il quantifie la résistance du solide à une variation de sa vitesse angulaire. Il dépend de la masse mais aussi de sa répartition — plus la masse est loin de l'axe, plus J est grand.

Quelle est l'analogie entre translation et rotation ?

m ↔ J_Δ, F ↔ M_Δ, a ↔ θ̈, v ↔ ω, ½mv² ↔ ½J_Δω². La relation J_Δ·θ̈ = Σ M_Δ est la « 2ᵉ loi de Newton de la rotation ».