Mouvement des satellites et des planètes — Cours Physique Bac SMB

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 7 en Bac SMB. Application des lois de Newton à une force centrale : on y démontre que la vitesse d'un satellite ne dépend pas de sa masse et on retrouve la 3ᵉ loi de Kepler. Le raisonnement sur le vecteur accélération centripète $\vec a=\dfrac{v^{2}}{r}\,\vec u_n$ prépare l'étude du mouvement de rotation.

À l'épreuve

Établir l'égalité gravitation = force centripète $\dfrac{GmM}{r^{2}}=\dfrac{mv^{2}}{r}$, en déduire $v=\sqrt{GM/r}$ puis $T$ et la relation $T^{2}/r^{3}=4\pi^{2}/(GM)$, calculer l'altitude d'un satellite géostationnaire, ou déterminer la masse d'un astre central à partir de la période et du rayon orbital d'un de ses satellites.

Objectifs d'apprentissage

Énoncer la loi de gravitation universelle F = G·m·M/r²
Établir que la gravitation joue le rôle de force centripète pour une orbite circulaire
Démontrer v = √(GM/r) et montrer qu'elle est indépendante de la masse du satellite
Établir la 3ᵉ loi de Kepler T²/r³ = 4π²/(GM)
Caractériser un satellite géostationnaire et calculer son altitude

Notions clés

Gravitation et force centripète

Loi de gravitation :

F=G\dfrac{mM}{r^{2}}

(

G=6{,}67\times10^{-11}\ \text{SI}

). Pour une orbite circulaire de rayon

r

, cette force est centripète :

G\dfrac{mM}{r^{2}}=\dfrac{m\,v^{2}}{r}

Vitesse et période

De l'égalité précédente :

v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}

— indépendante de la masse du satellite, décroissante avec

r

. Période :

T=\dfrac{2\pi r}{v}

, d'où

\boxed{\dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}}

(3ᵉ loi de Kepler), constante pour tous les satellites d'un même astre.

Lois de Kepler et satellite géostationnaire

1ʳᵉ : orbites elliptiques, l'astre central à un foyer. 2ᵉ : loi des aires (le rayon vecteur balaie des aires égales en des durées égales). 3ᵉ :

T^{2}/a^{3}=\text{cste}

. Un satellite géostationnaire a

T=23\ \text{h}\ 56\ \text{min}

, orbite dans le plan équatorial, dans le sens de rotation de la Terre : il paraît immobile depuis le sol.

Erreurs fréquentes

Croire que la vitesse dépend de la masse du satellite : elle n'en dépend pas, seule la masse de l'astre central compte.

Confondre le rayon de l'orbite r (= R_astre + altitude h) et l'altitude h.

Se tromper dans la 3ᵉ loi : c'est T²/r³ (et non T/r² ou T³/r²) qui est constant.

Exemple corrigé

Énoncé

Un satellite décrit une orbite circulaire à l'altitude

h=3{,}6\times10^{4}\ \text{km}

autour de la Terre (

M=6{,}0\times10^{24}\ \text{kg}

R_T=6{,}4\times10^{3}\ \text{km}

G=6{,}67\times10^{-11}\ \text{SI}

). Calculer le rayon de l'orbite, la vitesse et la période. Conclure.

Correction

Rayon de l'orbite.

r=R_T+h=6{,}4\times10^{6}+3{,}6\times10^{7}=4{,}24\times10^{7}\ \text{m}

Vitesse.

v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}=\sqrt{\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\times6{,}0\times10^{24}}{4{,}24\times10^{7}}}\approx\sqrt{9{,}44\times10^{6}}\approx 3{,}1\times10^{3}\ \text{m/s}

Période.

T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\times4{,}24\times10^{7}}{3{,}1\times10^{3}}\approx 8{,}7\times10^{4}\ \text{s}\approx 24\ \text{h}

Conclusion.

T\approx 24\ \text{h}

et orbite équatoriale : c'est un satellite géostationnaire.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Exprimer la vitesse d'un satellite en orbite circulaire de rayon

r

autour d'un astre de masse

M

, et indiquer comment elle varie avec

r

Voir la correction

v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}

: elle décroît quand

r

augmente (en

1/\sqrt r

) et ne dépend pas de la masse du satellite.

Exercice 2

Moyen

La Lune décrit une orbite quasi circulaire de rayon

r=3{,}84\times10^{8}\ \text{m}

avec une période

T=27{,}3\ \text{jours}

. En déduire la masse de la Terre (

G=6{,}67\times10^{-11}\ \text{SI}

Voir la correction

\dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}\Rightarrow M=\dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{G\,T^{2}}

. Avec

T=27{,}3\times86400\approx 2{,}36\times10^{6}\ \text{s}

M=\dfrac{4\pi^{2}\times(3{,}84\times10^{8})^{3}}{6{,}67\times10^{-11}\times(2{,}36\times10^{6})^{2}}\approx 6{,}0\times10^{24}\ \text{kg}

Exercice 3

Difficile

Établir la 3ᵉ loi de Kepler

\dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}

pour une orbite circulaire.

Voir la correction

L'égalité gravitation = force centripète donne

\dfrac{GmM}{r^{2}}=\dfrac{mv^{2}}{r}

, soit

v^{2}=\dfrac{GM}{r}

. Or le mouvement est circulaire uniforme :

v=\dfrac{2\pi r}{T}

, donc

v^{2}=\dfrac{4\pi^{2}r^{2}}{T^{2}}

. En égalant :

\dfrac{4\pi^{2}r^{2}}{T^{2}}=\dfrac{GM}{r}

, d'où

T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{GM}

\dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}

, indépendante du satellite.

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Questions fréquentes

La vitesse d'un satellite dépend-elle de sa masse ?

Non. Dans l'égalité GmM/r² = mv²/r, la masse m du satellite se simplifie : v = √(GM/r) ne dépend que de la masse M de l'astre central et du rayon r de l'orbite.

Qu'est-ce qu'un satellite géostationnaire ?

Un satellite dont la période orbitale est égale à la période de rotation de la Terre (≈ 23 h 56 min), qui orbite dans le plan équatorial et dans le sens de rotation terrestre. Il reste donc à la verticale d'un même point du sol — d'où son usage pour les télécommunications.

Qu'énoncent les trois lois de Kepler ?

1ʳᵉ : les orbites sont des ellipses dont l'astre central occupe un foyer. 2ᵉ : le rayon vecteur balaie des aires égales pendant des durées égales (loi des aires). 3ᵉ : le rapport T²/a³ est le même pour tous les astres orbitant autour du même centre.