Systèmes mécaniques oscillants — Cours Physique Bac SMB

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 7 en Bac SMB. Ce chapitre est l'équivalent mécanique des oscillations électriques : la même équation $\ddot x+\omega_0^{2}x=0$ (oscillateur harmonique) qu'en Mathématiques (coefficient 9), avec la solution sinusoïdale à retrouver et à valider proprement. L'isochronisme des petites oscillations et l'analyse dimensionnelle des périodes propres sont des attendus.

À l'épreuve

Établir l'équation différentielle du mouvement (2ᵉ loi ou théorème du moment cinétique selon le pendule), identifier ω₀, vérifier la solution x(t) = X_m·cos(ω₀t + φ), calculer T₀ et discuter ce dont elle dépend, puis interpréter un enregistrement amorti (pseudo-période) ou une courbe de résonance.

Objectifs d'apprentissage

Établir l'équation différentielle d'un pendule élastique horizontal
Vérifier que x(t) = X_m·cos(ω₀t + φ) est solution et identifier ω₀ = √(k/m)
Donner les périodes propres du pendule de torsion et du pendule simple
Énoncer l'isochronisme des petites oscillations
Distinguer oscillations libres, amorties (pseudo-période) et forcées (résonance)

Notions clés

Pendule élastique horizontal

Force de rappel du ressort :

\vec F=-k\,x\,\vec i

. 2ᵉ loi sur l'axe :

m\ddot x=-k\,x

, soit

\ddot x+\dfrac{k}{m}\,x=0

. Solution :

x(t)=X_m\cos(\omega_0 t+\varphi)

avec

\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}

Autres oscillateurs

Pendule de torsion :

J\ddot\theta=-C\,\theta\Rightarrow T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{J}{C}}

. Pendule simple aux petites oscillations (

\sin\theta\approx\theta

) :

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}

. Dans tous les cas,

T_0

ne dépend pas de l'amplitude (isochronisme).

Amortissement et résonance

Avec frottements, l'amplitude décroît : régime pseudo-périodique (pseudo-période

T\gtrsim T_0

), puis critique, puis apériodique. Sous excitation périodique de fréquence

f

, l'amplitude passe par un maximum quand

f\approx f_0

: c'est la résonance, d'autant plus aiguë que l'amortissement est faible.

Erreurs fréquentes

Écrire T₀ = 2π√(k/m) : c'est 2π√(m/k) (analyse dimensionnelle : √(kg / (N/m)) = √(kg·m/N) = s).

Oublier l'approximation des petits angles pour le pendule simple : la formule T₀ = 2π√(L/g) n'est valable que pour de faibles amplitudes.

Confondre période propre T₀ (oscillateur idéal) et pseudo-période T (oscillateur amorti).

Exemple corrigé

Énoncé

Un pendule élastique horizontal est constitué d'un solide de masse

m=200\ \text{g}

et d'un ressort de raideur

k=20\ \text{N/m}

(frottements négligés). Calculer la pulsation propre, la période propre et la fréquence propre.

Correction

Pulsation propre.

\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{20}{0{,}200}}=\sqrt{100}=10\ \text{rad/s}

Période propre.

T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}=\dfrac{2\pi}{10}\approx 0{,}63\ \text{s}

Fréquence propre.

f_0=\dfrac{1}{T_0}\approx 1{,}6\ \text{Hz}

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un pendule simple de longueur

L=1{,}0\ \text{m}

oscille avec une faible amplitude (

g=9{,}8\ \text{m/s}^2

). Calculer sa période propre.

Voir la correction

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}=2\pi\sqrt{\dfrac{1{,}0}{9{,}8}}\approx 2{,}0\ \text{s}

Exercice 2

Moyen

Par quel facteur faut-il multiplier la masse d'un pendule élastique pour doubler sa période propre (raideur inchangée) ?

Voir la correction

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\propto\sqrt m

. Pour doubler

T_0

, il faut multiplier

\sqrt m

par 2, donc multiplier $m$ par 4.

Exercice 3

Difficile

Établir l'équation différentielle du pendule élastique horizontal et vérifier que

x(t)=X_m\cos(\omega_0 t+\varphi)

en est solution, avec

\omega_0=\sqrt{k/m}

Voir la correction

2ᵉ loi projetée sur l'axe du mouvement :

m\ddot x=-k\,x

(seule composante horizontale : la force de rappel du ressort). D'où

\ddot x+\dfrac{k}{m}\,x=0

. Avec

x=X_m\cos(\omega_0 t+\varphi)

\ddot x=-\omega_0^{2}X_m\cos(\omega_0 t+\varphi)=-\omega_0^{2}x

. En reportant :

-\omega_0^{2}x+\dfrac{k}{m}x=0

pour tout

t

, ce qui impose

\omega_0^{2}=\dfrac{k}{m}

, soit

\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}

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Questions fréquentes

De quoi dépend la période propre d'un pendule élastique ?

Uniquement de la masse m et de la raideur k : T₀ = 2π√(m/k). Elle ne dépend ni de l'amplitude (isochronisme des oscillations) ni de l'intensité de la pesanteur pour un pendule élastique horizontal.

Qu'est-ce que l'amortissement d'un oscillateur ?

La diminution progressive de l'amplitude due aux forces de frottement, qui dissipent l'énergie mécanique. Selon leur intensité, le régime est pseudo-périodique (oscillations décroissantes), critique ou apériodique (retour sans oscillation).

Quelle différence entre oscillations libres, forcées et résonance ?

Libres : le système oscille seul à sa fréquence propre f₀ après une perturbation initiale. Forcées : un dispositif impose sa fréquence f. Résonance : lorsque f ≈ f₀, l'amplitude des oscillations forcées devient maximale.