Aspects énergétiques des oscillations mécaniques — Cours Physique Bac SMB

Q: Quand l'énergie mécanique se conserve-t-elle ?

Lorsque les seules forces qui travaillent sont conservatives (poids, force de rappel élastique). En l'absence de frottements, E_m reste constante et E_c ↔ E_p s'échangent en permanence.

Q: Où E_c et E_p sont-elles maximales dans une oscillation ?

Pour un pendule élastique : E_p est maximale aux élongations extrêmes (x = ±X_m, v = 0), E_c est maximale au passage par la position d'équilibre (x = 0, v = v_max). Leur somme est constante sans frottement.

Q: Que devient l'énergie perdue par frottements ?

Elle est convertie en énergie thermique (échauffement du système et du milieu). C'est pourquoi l'amplitude d'un oscillateur amorti décroît jusqu'à l'arrêt : toute l'énergie mécanique initiale a été dissipée.

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 7 en Bac SMB. Approche énergétique des oscillateurs du chapitre précédent : elle donne accès à la vitesse maximale et à la vitesse en un point sans résoudre l'équation différentielle, et quantifie l'amortissement par ΔE_m = W(frottements) < 0. Les calculs d'aire et de travail réinvestissent l'intégration vue en Mathématiques (coefficient 9).

À l'épreuve

Écrire E_m à un instant (souvent à l'élongation maximale : E_m = ½k·X_m²), utiliser sa conservation pour trouver v_max ou v en un point, ou son bilan (E_m,final − E_m,initial = travail des frottements) pour évaluer l'énergie dissipée après un nombre donné d'oscillations.

Objectifs d'apprentissage

Exprimer E_c, E_pe = ½k·x² et E_pp = m·g·z pour un oscillateur
Définir l'énergie mécanique E_m = E_c + E_p
Énoncer et appliquer la conservation de E_m en l'absence de frottements
Établir le bilan ΔE_m = W(forces de frottement) < 0 en présence de frottements
Calculer v_max et v en un point par un raisonnement énergétique

Notions clés

Les formes d'énergie

Énergie cinétique :

E_c=\dfrac12 m v^{2}

. Énergie potentielle élastique :

E_{pe}=\dfrac12 k x^{2}

(

x

: écart à la position de repos du ressort). Énergie potentielle de pesanteur :

E_{pp}=m g z

(référence à choisir).

Conservation de l'énergie mécanique

E_m=E_c+E_p

. Sans frottement,

E_m=\text{constante}

E_c

E_p

s'échangent en permanence. Pour un pendule élastique horizontal :

E_m=\dfrac12 k X_m^{2}

(tout en potentiel à l'élongation maximale)

=\dfrac12 m v_{max}^{2}

(tout en cinétique au passage par la position d'équilibre).

Effet des frottements

Les forces de frottement travaillent en résistance (

W<0

) :

\Delta E_m=E_m(t_2)-E_m(t_1)=W_{frottements}<0

. L'énergie mécanique perdue est convertie en chaleur ; l'amplitude des oscillations décroît.

Erreurs fréquentes

Oublier une forme d'énergie dans le bilan (par ex. l'énergie potentielle de pesanteur pour un pendule non horizontal).

Prendre E_pe = ½k·x au lieu de ½k·x² : l'énergie potentielle élastique est quadratique en x.

Se tromper de signe pour le travail des frottements : il est toujours négatif (résistant).

Exemple corrigé

Énoncé

Un pendule élastique horizontal (

m=200\ \text{g}

k=20\ \text{N/m}

, sans frottement) oscille avec une amplitude

X_m=5{,}0\ \text{cm}

. Calculer l'énergie mécanique, la vitesse maximale, et la vitesse au passage à

x=3{,}0\ \text{cm}

Correction

Énergie mécanique.

E_m=\dfrac12 k X_m^{2}=\dfrac12\times20\times(0{,}050)^{2}=2{,}5\times10^{-2}\ \text{J}

Vitesse maximale. Au passage par

x=0

E_m=\dfrac12 m v_{max}^{2}

, donc

v_{max}=\sqrt{\dfrac{2E_m}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\times2{,}5\times10^{-2}}{0{,}200}}=\sqrt{0{,}25}=0{,}50\ \text{m/s}

Vitesse à $x=3{,}0\ \text{cm}$ .

\dfrac12 m v^{2}=E_m-\dfrac12 k x^{2}=2{,}5\times10^{-2}-\dfrac12\times20\times(0{,}030)^{2}=2{,}5\times10^{-2}-9{,}0\times10^{-3}=1{,}6\times10^{-2}\ \text{J}

Donc

v=\sqrt{\dfrac{2\times1{,}6\times10^{-2}}{0{,}200}}=\sqrt{0{,}16}=0{,}40\ \text{m/s}

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Exercice 1

Facile

Un ressort de raideur

k=50\ \text{N/m}

est comprimé de

x=0{,}10\ \text{m}

. Calculer l'énergie potentielle élastique stockée.

Voir la correction

E_{pe}=\dfrac12 k x^{2}=\dfrac12\times50\times(0{,}10)^{2}=0{,}25\ \text{J}

Exercice 2

Moyen

Une bille de masse

m=50\ \text{g}

oscille sur un rail sans frottement ; au point le plus bas, sa vitesse vaut

v=2{,}0\ \text{m/s}

. Quelle hauteur maximale atteint-elle ? (

g=10\ \text{m/s}^2

)

Voir la correction

Conservation de

E_m

\dfrac12 m v^{2}=m g h\Rightarrow h=\dfrac{v^{2}}{2g}=\dfrac{(2{,}0)^{2}}{20}=0{,}20\ \text{m}

Exercice 3

Difficile

Un oscillateur élastique horizontal (

m=0{,}30\ \text{kg}

k=30\ \text{N/m}

) est lâché de

X_m=8{,}0\ \text{cm}

. À cause des frottements, l'amplitude tombe à

5{,}0\ \text{cm}

après 10 oscillations. Calculer l'énergie dissipée.

Voir la correction

E_{m,i}=\dfrac12 k X_{m,i}^{2}=\dfrac12\times30\times(0{,}080)^{2}=9{,}6\times10^{-2}\ \text{J}

E_{m,f}=\dfrac12\times30\times(0{,}050)^{2}=3{,}75\times10^{-2}\ \text{J}

. Énergie dissipée :

|W_{frottements}|=E_{m,i}-E_{m,f}=9{,}6\times10^{-2}-3{,}75\times10^{-2}\approx 5{,}9\times10^{-2}\ \text{J}

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Quand l'énergie mécanique se conserve-t-elle ?

Lorsque les seules forces qui travaillent sont conservatives (poids, force de rappel élastique). En l'absence de frottements, E_m reste constante et E_c ↔ E_p s'échangent en permanence.

Où E_c et E_p sont-elles maximales dans une oscillation ?

Pour un pendule élastique : E_p est maximale aux élongations extrêmes (x = ±X_m, v = 0), E_c est maximale au passage par la position d'équilibre (x = 0, v = v_max). Leur somme est constante sans frottement.

Que devient l'énergie perdue par frottements ?

Elle est convertie en énergie thermique (échauffement du système et du milieu). C'est pourquoi l'amplitude d'un oscillateur amorti décroît jusqu'à l'arrêt : toute l'énergie mécanique initiale a été dissipée.