Dipôle RC — Cours Physique Bac SMB

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 7 en Bac SMB, à égalité avec les Sciences de l'Ingénieur. Le dipôle RC ouvre l'électricité du programme (30 chapitres) et applique littéralement le cours de Mathématiques (coefficient 9) sur les équations différentielles y′ = ay + b : en SMB, on attend une résolution complète (solution générale + condition initiale), pas seulement une vérification.

À l'épreuve

Exercice quasi systématique : établir l'équation différentielle de u_C (loi des mailles + q = C·u_C + i = dq/dt), la résoudre ou vérifier la solution proposée, exploiter τ (tangente à l'origine, ou 63 % du régime permanent en charge / 37 % en décharge), calculer l'énergie stockée et discuter le bilan énergétique.

Objectifs d'apprentissage

Relier charge, tension et intensité : q = C·u_C et i = C·(du_C/dt)
Établir l'équation différentielle de u_C (ou de q) en charge et en décharge
Résoudre cette équation et appliquer la condition initiale
Déterminer la constante de temps τ = RC graphiquement et par le calcul
Calculer l'énergie stockée ½C·u_C² et faire le bilan énergétique de la charge

Notions clés

Relations de base

Pour un condensateur :

q=C\,u_C

(

C

en farads). Intensité :

i=\dfrac{dq}{dt}=C\,\dfrac{du_C}{dt}

. Aux bornes du résistor :

u_R=R\,i

. La tension

u_C

est une fonction continue du temps.

Équation différentielle et solution (charge)

Loi des mailles :

E=u_R+u_C=RC\,\dfrac{du_C}{dt}+u_C

, soit

\dfrac{du_C}{dt}+\dfrac{1}{\tau}u_C=\dfrac{E}{\tau}

avec

\tau=RC

. Solution avec

u_C(0)=0

u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)

. En décharge (

E=0

) :

u_C(t)=U_0\,e^{-t/\tau}

Constante de temps et énergie

\tau=RC

(en s :

\Omega\cdot\text{F}=\text{s}

). En charge,

u_C

atteint

63\,\%

E

t=\tau

; le régime permanent est quasi atteint à

5\tau

. La tangente à l'origine coupe l'asymptote

u_C=E

t=\tau

. Énergie stockée :

\mathcal{E}_C=\dfrac{1}{2}C\,u_C^{\,2}

Association de condensateurs

En série, les condensateurs portent la même charge

q

et leurs tensions s'additionnent :

\dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}

. La capacité équivalente est plus petite que la plus petite des capacités. En parallèle (en dérivation), ils sont soumis à la même tension et leurs charges s'additionnent :

C_{eq} = C_1 + C_2

. Exemple : avec

C_1 = 2\,\mu F

C_2 = 3\,\mu F

, on obtient

C_{eq} = 1{,}2\,\mu F

en série et

5\,\mu F

en parallèle. L'association change la constante de temps du circuit :

\tau = R\,C_{eq}

Erreurs fréquentes

Écrire i = C·u_C au lieu de i = C·(du_C/dt) : l'intensité dépend de la variation de u_C, pas de sa valeur.

Se tromper d'homogénéité : τ = RC est une durée (Ω·F = s), à ne pas confondre avec L/R ou R/C.

Oublier la condition initiale : la solution générale seule ne suffit pas, il faut u_C(0) pour fixer la constante.

Exemple corrigé

Énoncé

Un condensateur

C=4{,}7\ \mu\text{F}

initialement déchargé est chargé à travers

R=47\ \text{k}\Omega

sous

E=10\ \text{V}

. Déterminer

\tau

, l'expression de

u_C(t)

, la durée pratique de charge et l'énergie finale stockée.

Correction

Constante de temps.

\tau=RC=47\times10^{3}\times4{,}7\times10^{-6}\approx 0{,}22\ \text{s}

Équation.

\dfrac{du_C}{dt}+\dfrac{1}{\tau}u_C=\dfrac{E}{\tau}

, solution avec

u_C(0)=0

u_C(t)=10\left(1-e^{-t/0{,}22}\right)

(en volts).

Durée pratique. Régime permanent atteint à

5\tau\approx 1{,}1\ \text{s}

Énergie finale.

\mathcal{E}_C=\dfrac{1}{2}C E^2=\dfrac{1}{2}\times4{,}7\times10^{-6}\times10^{2}=2{,}35\times10^{-4}\ \text{J}

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un dipôle RC a une constante de temps

\tau=15\ \text{ms}

avec un condensateur

C=100\ \text{nF}

. Calculer

R

Voir la correction

\tau=RC\Rightarrow R=\dfrac{\tau}{C}=\dfrac{15\times10^{-3}}{100\times10^{-9}}=1{,}5\times10^{5}\ \Omega=150\ \text{k}\Omega

Exercice 2

Moyen

Lors d'une décharge,

u_C(t)=12\,e^{-t/\tau}

avec

\tau=0{,}25\ \text{s}

. À quel instant a-t-on

u_C=12\,e^{-2}

, et quelle est alors la valeur de

u_C

Voir la correction

12\,e^{-t/\tau}=12\,e^{-2}\Rightarrow \dfrac{t}{\tau}=2\Rightarrow t=2\tau=0{,}50\ \text{s}

. Valeur :

u_C=12\,e^{-2}\approx 1{,}6\ \text{V}

Exercice 3

Difficile

Établir l'équation différentielle en

q(t)

lors de la charge, vérifier que

q(t)=CE\left(1-e^{-t/\tau}\right)

en est solution, et calculer la charge finale pour

C=4{,}7\ \mu\text{F}

E=10\ \text{V}

Voir la correction

Loi des mailles :

E=R\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{C}

, soit

\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{RC}=\dfrac{E}{R}

. Avec

q(t)=CE\left(1-e^{-t/\tau}\right)

\dfrac{dq}{dt}=\dfrac{CE}{\tau}e^{-t/\tau}=\dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}

. Report :

\dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}+\dfrac{CE\left(1-e^{-t/\tau}\right)}{RC}=\dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}+\dfrac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)=\dfrac{E}{R}

✓. Charge finale :

Q=CE=4{,}7\times10^{-6}\times10=4{,}7\times10^{-5}\ \text{C}

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Questions fréquentes

Comment lire graphiquement la constante de temps τ ?

Deux méthodes : la tangente à u_C(t) en t = 0 coupe l'asymptote horizontale à l'abscisse t = τ ; ou bien on lit l'instant où u_C atteint 63 % de sa valeur finale (charge), ou est tombée à 37 % de sa valeur initiale (décharge).

Quel est le lien avec le cours de maths sur les équations différentielles ?

L'équation du dipôle RC est du type y′ = ay + b, avec a = −1/τ et b = E/τ. Sa solution générale est y = K·e^(at) − b/a ; la condition initiale u_C(0) fixe K. C'est exactement la méthode vue en Mathématiques.

Que devient l'énergie fournie par le générateur pendant la charge ?

Le générateur fournit E·Q = C·E². La moitié (½C·E²) est stockée dans le condensateur, l'autre moitié est dissipée par effet Joule dans le résistor — indépendamment de la valeur de R.