Dipôle RC — Cours Physique Bac SMB

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 7 en Bac SMB, à égalité avec les Sciences de l'Ingénieur. Le dipôle RC ouvre l'électricité du programme (30 chapitres) et applique littéralement le cours de Mathématiques (coefficient 9) sur les équations différentielles y′ = ay + b : en SMB, on attend une résolution complète (solution générale + condition initiale), pas seulement une vérification.

À l'épreuve

Exercice quasi systématique : établir l'équation différentielle de u_C (loi des mailles + q = C·u_C + i = dq/dt), la résoudre ou vérifier la solution proposée, exploiter τ (tangente à l'origine, ou 63 % du régime permanent en charge / 37 % en décharge), calculer l'énergie stockée et discuter le bilan énergétique.

Objectifs d'apprentissage

Relier charge, tension et intensité : q = C·u_C et i = C·(du_C/dt)
Établir l'équation différentielle de u_C (ou de q) en charge et en décharge
Résoudre cette équation et appliquer la condition initiale
Déterminer la constante de temps τ = RC graphiquement et par le calcul
Calculer l'énergie stockée ½C·u_C² et faire le bilan énergétique de la charge

Notions clés

Relations de base

Pour un condensateur :

q=C\,u_C

(

C

en farads). Intensité :

i=\dfrac{dq}{dt}=C\,\dfrac{du_C}{dt}

. Aux bornes du résistor :

u_R=R\,i

. La tension

u_C

est une fonction continue du temps.

Équation différentielle et solution (charge)

Loi des mailles :

E=u_R+u_C=RC\,\dfrac{du_C}{dt}+u_C

, soit

\dfrac{du_C}{dt}+\dfrac{1}{\tau}u_C=\dfrac{E}{\tau}

avec

\tau=RC

. Solution avec

u_C(0)=0

u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)

. En décharge (

E=0

) :

u_C(t)=U_0\,e^{-t/\tau}

Constante de temps et énergie

\tau=RC

(en s :

\Omega\cdot\text{F}=\text{s}

). En charge,

u_C

atteint

63\,\%

E

t=\tau

; le régime permanent est quasi atteint à

5\tau

. La tangente à l'origine coupe l'asymptote

u_C=E

t=\tau

. Énergie stockée :

\mathcal{E}_C=\dfrac{1}{2}C\,u_C^{\,2}

Erreurs fréquentes

Écrire i = C·u_C au lieu de i = C·(du_C/dt) : l'intensité dépend de la variation de u_C, pas de sa valeur.

Se tromper d'homogénéité : τ = RC est une durée (Ω·F = s), à ne pas confondre avec L/R ou R/C.

Oublier la condition initiale : la solution générale seule ne suffit pas, il faut u_C(0) pour fixer la constante.

Exemple corrigé

Énoncé

Un condensateur

C=4{,}7\ \mu\text{F}

initialement déchargé est chargé à travers

R=47\ \text{k}\Omega

sous

E=10\ \text{V}

. Déterminer

\tau

, l'expression de

u_C(t)

, la durée pratique de charge et l'énergie finale stockée.

Correction

Constante de temps.

\tau=RC=47\times10^{3}\times4{,}7\times10^{-6}\approx 0{,}22\ \text{s}

Équation.

\dfrac{du_C}{dt}+\dfrac{1}{\tau}u_C=\dfrac{E}{\tau}

, solution avec

u_C(0)=0

u_C(t)=10\left(1-e^{-t/0{,}22}\right)

(en volts).

Durée pratique. Régime permanent atteint à

5\tau\approx 1{,}1\ \text{s}

Énergie finale.

\mathcal{E}_C=\dfrac{1}{2}C E^2=\dfrac{1}{2}\times4{,}7\times10^{-6}\times10^{2}=2{,}35\times10^{-4}\ \text{J}

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices illimités et des examens blancs corrigés sur tout le programme de Physique-Chimie du Bac SMB, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre.

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un dipôle RC a une constante de temps

\tau=15\ \text{ms}

avec un condensateur

C=100\ \text{nF}

. Calculer

R

Voir la correction

\tau=RC\Rightarrow R=\dfrac{\tau}{C}=\dfrac{15\times10^{-3}}{100\times10^{-9}}=1{,}5\times10^{5}\ \Omega=150\ \text{k}\Omega

Exercice 2

Moyen

Lors d'une décharge,

u_C(t)=12\,e^{-t/\tau}

avec

\tau=0{,}25\ \text{s}

. À quel instant a-t-on

u_C=12\,e^{-2}

, et quelle est alors la valeur de

u_C

Voir la correction

12\,e^{-t/\tau}=12\,e^{-2}\Rightarrow \dfrac{t}{\tau}=2\Rightarrow t=2\tau=0{,}50\ \text{s}

. Valeur :

u_C=12\,e^{-2}\approx 1{,}6\ \text{V}

Exercice 3

Difficile

Établir l'équation différentielle en

q(t)

lors de la charge, vérifier que

q(t)=CE\left(1-e^{-t/\tau}\right)

en est solution, et calculer la charge finale pour

C=4{,}7\ \mu\text{F}

E=10\ \text{V}

Voir la correction

Loi des mailles :

E=R\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{C}

, soit

\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{RC}=\dfrac{E}{R}

. Avec

q(t)=CE\left(1-e^{-t/\tau}\right)

\dfrac{dq}{dt}=\dfrac{CE}{\tau}e^{-t/\tau}=\dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}

. Report :

\dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}+\dfrac{CE\left(1-e^{-t/\tau}\right)}{RC}=\dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}+\dfrac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)=\dfrac{E}{R}

✓. Charge finale :

Q=CE=4{,}7\times10^{-6}\times10=4{,}7\times10^{-5}\ \text{C}

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Comment lire graphiquement la constante de temps τ ?

Deux méthodes : la tangente à u_C(t) en t = 0 coupe l'asymptote horizontale à l'abscisse t = τ ; ou bien on lit l'instant où u_C atteint 63 % de sa valeur finale (charge), ou est tombée à 37 % de sa valeur initiale (décharge).

Quel est le lien avec le cours de maths sur les équations différentielles ?

L'équation du dipôle RC est du type y′ = ay + b, avec a = −1/τ et b = E/τ. Sa solution générale est y = K·e^(at) − b/a ; la condition initiale u_C(0) fixe K. C'est exactement la méthode vue en Mathématiques.

Que devient l'énergie fournie par le générateur pendant la charge ?

Le générateur fournit E·Q = C·E². La moitié (½C·E²) est stockée dans le condensateur, l'autre moitié est dissipée par effet Joule dans le résistor — indépendamment de la valeur de R.