Équations différentielles — Cours Maths Bac SMB

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 9 en Bac SMB — la matière décisive de la filière, devant la Physique-Chimie et les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 7 chacune). Programme SM en 14 chapitres, identique à celui de SMA. Chapitre court mais rentable : il s'appuie entièrement sur l'exponentielle et les fonctions trigonométriques, et donne des questions bien balisées.

À l'épreuve

Souvent un exercice à part : résoudre l'équation homogène, trouver une solution particulière (constante pour y′ = ay + b), écrire la solution générale, puis exploiter y(0) et éventuellement y′(0) ; parfois relié à un modèle physique (charge d'un condensateur, oscillateur).

Objectifs d'apprentissage

Résoudre y′ = ay : solutions y = Ceᵃˣ
Résoudre y′ = ay + b : solutions y = Ceᵃˣ − b/a
Résoudre y″ + ω²y = 0 : solutions y = A cos(ωx) + B sin(ωx)
Résoudre y″ + py′ + qy = 0 via l'équation caractéristique r² + pr + q = 0
Déterminer les constantes à partir de conditions initiales

Notions clés

Premier ordre

y'=ay

a pour solutions

y(x)=C e^{ax}

C\in\mathbb{R}

y'=ay+b

(avec

a\neq 0

) : solution particulière constante

y_p=-\dfrac{b}{a}

, d'où

y(x)=C e^{ax}-\dfrac{b}{a}

Oscillateur y″ + ω²y = 0

Solutions

y(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)

, ou encore

y(x)=R\cos(\omega x+\varphi)

A

B

(ou

R

\varphi

) se fixent par

y(0)

y'(0)

Équation caractéristique

Pour

y''+py'+qy=0

, on résout

r^2+pr+q=0

. Deux racines réelles

r_1\neq r_2

y=A e^{r_1x}+B e^{r_2x}

. Racine double

r

y=(A+Bx)e^{rx}

. Racines complexes

\alpha\pm i\beta

y=e^{\alpha x}\big(A\cos\beta x+B\sin\beta x\big)

Condition initiale

L'équation générale contient une constante (premier ordre) ou deux (second ordre). On les détermine avec autant de conditions :

y(x_0)

seul, ou

y(x_0)

y'(x_0)

Erreurs fréquentes

Oublier la solution particulière dans y′ = ay + b et ne garder que Ceᵃˣ.

Écrire la solution de y″ + ω²y = 0 avec des exponentielles réelles.

Se tromper de signe : y′ = −2y donne Ce^(−2x), pas Ce^(2x).

Fixer la constante avant d'avoir écrit la solution générale complète.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre

y'+2y=6

avec la condition

y(0)=4

Correction

Équation homogène

y'=-2y

: solutions

y_h(x)=C e^{-2x}

Solution particulière constante

y_p

0+2y_p=6

, donc

y_p=3

Solution générale :

y(x)=C e^{-2x}+3

Condition initiale :

y(0)=C+3=4

, donc

C=1

y(x)=e^{-2x}+3

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Résoudre

y'=3y

avec

y(0)=2

Voir la correction

Solutions

y(x)=C e^{3x}

y(0)=C=2

, donc

y(x)=2e^{3x}

Exercice 2

Moyen

Résoudre

y''+9y=0

avec

y(0)=1

y'(0)=3

Voir la correction

\omega=3

y(x)=A\cos(3x)+B\sin(3x)

y(0)=A=1

y'(x)=-3A\sin(3x)+3B\cos(3x)

, donc

y'(0)=3B=3

, soit

B=1

. D'où

y(x)=\cos(3x)+\sin(3x)

Exercice 3

Difficile

Résoudre

y''-y'-6y=0

avec

y(0)=0

y'(0)=5

Voir la correction

Équation caractéristique

r^2-r-6=0

, racines

r=3

r=-2

. Solution générale

y(x)=A e^{3x}+B e^{-2x}

y(0)=A+B=0

y'(0)=3A-2B=5

. De

B=-A

3A+2A=5

A=1

B=-1

. Donc

y(x)=e^{3x}-e^{-2x}

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Questions fréquentes

Quelle est la solution générale de y′ = ay + b ?

y(x) = Ceᵃˣ − b/a : la solution de l'équation homogène plus la solution particulière constante −b/a. La constante C se fixe avec une condition initiale.

Comment reconnaître un oscillateur ?

Une équation de la forme y″ + ω²y = 0 (avec ω² > 0). Ses solutions sont des combinaisons de cos(ωx) et sin(ωx), de période 2π/ω.

L'équation caractéristique est-elle au programme SM ?

Oui : pour y″ + py′ + qy = 0, on résout r² + pr + q = 0 et on distingue trois cas selon le signe du discriminant (deux racines réelles, racine double, racines complexes).