OrkaOrka/Bac/Sciences Mathématiques B
Mathématiques · Bac SMB · Coefficient 9

Fonctions exponentielles — Cours Maths Bac SMB

La fonction exp, réciproque de ln : règles de calcul, limites et croissances comparées, dérivée d'une exponentielle composée, équations en posant X = eˣ, et inégalités de convexité.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 9 en Bac SMB — la matière décisive de la filière, devant la Physique-Chimie et les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 7 chacune). Programme SM en 14 chapitres, identique à celui de SMA. Souvent traitée juste après le logarithme, l'exponentielle apparaît dans l'autre problème d'analyse et dans les équations différentielles (y′ = ay ⇒ y = Ceᵃˣ).

À l'épreuve

Étude d'une fonction du type x ↦ (x + 1)eˣ ou x ↦ x − eˣ + 1 : limites avec croissances comparées, dérivée, tableau, tangente, tracé ; résolution d'une équation eᵃˣ + … = 0 par le changement X = eˣ ; démonstration d'une inégalité par convexité.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser exp comme réciproque de ln : eˡⁿ ᵃ = a, ln(eˣ) = x, eᵃ⁺ᵇ = eᵃ · eᵇ
  • Résoudre une équation exponentielle par le changement de variable X = eˣ (X > 0)
  • Connaître les limites : eˣ → +∞, eˣ/x → +∞, x eˣ → 0 en −∞
  • Dériver une exponentielle composée : (eᵘ)′ = u′eᵘ
  • Démontrer une inégalité (eˣ ≥ 1 + x) par étude de signe ou convexité

Notions clés

Définition et propriétés

exp⁡\exp est la réciproque de ln⁡\ln : eln⁡a=ae^{\ln a}=a (a>0a>0), ln⁡(ex)=x\ln(e^x)=x. ea+b=eaebe^{a+b}=e^a e^b, e−a=1eae^{-a}=\dfrac{1}{e^a}, (ea)n=ena(e^a)^n=e^{na}, e0=1e^0=1, e1=ee^1=e.

Variation et limites

exp⁡\exp est strictement croissante et >0>0 sur R\mathbb{R}. lim⁡x→+∞ex=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty, lim⁡x→−∞ex=0+\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+.

Croissances comparées

lim⁡x→+∞exx=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty (et exxn→+∞\dfrac{e^x}{x^n}\to+\infty) ; lim⁡x→−∞x ex=0\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^x=0 ; lim⁡x→0ex−1x=1\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1.

Dérivée et convexité

(ex)′=ex(e^x)'=e^x et (eu)′=u′eu(e^{u})'=u'e^{u}. exp⁡\exp est convexe : sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, d'où ex≥1+xe^x\ge 1+x pour tout xx (tangente en 00).

Erreurs fréquentes

1

Oublier la contrainte X = eˣ > 0 en résolvant une équation par changement de variable.

2

Écrire eᵃ⁺ᵇ = eᵃ + eᵇ : faux ; c'est le produit.

3

Confondre eˣ/x → +∞ (comparée) et une forme indéterminée non levée.

4

Dériver e^(u) en e^(u) sans le facteur u′.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} : e2x−5ex+6=0e^{2x}-5e^{x}+6=0.

Correction

On pose X=exX=e^{x}, avec X>0X>0. L'équation devient X2−5X+6=0X^2-5X+6=0.
Discriminant : 25−24=125-24=1, racines X=5±12X=\dfrac{5\pm 1}{2}, soit X=2X=2 ou X=3X=3 (toutes deux >0>0).
ex=2  ⟺  x=ln⁡2e^{x}=2 \iff x=\ln 2 ; ex=3  ⟺  x=ln⁡3e^{x}=3 \iff x=\ln 3.
S={ln⁡2, ln⁡3}S=\{\ln 2,\ \ln 3\}.

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices illimités et des examens blancs corrigés sur tout le programme de Mathématiques du Bac SMB, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre.

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Résoudre dans R\mathbb{R} : ex+1=1e2e^{x+1}=\dfrac{1}{e^{2}}.
Voir la correction
1e2=e−2\dfrac{1}{e^2}=e^{-2}, donc ex+1=e−2e^{x+1}=e^{-2}. Par stricte croissance de exp⁡\exp, x+1=−2x+1=-2, soit x=−3x=-3.

Exercice 2

Moyen
Calculer lim⁡x→−∞x ex\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^{x} et lim⁡x→+∞exx2\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{2}}.
Voir la correction
Par croissance comparée, lim⁡x→−∞x ex=0\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^{x}=0 (forme −∞×0+-\infty\times 0^+ levée). Toujours par croissance comparée, lim⁡x→+∞exx2=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{2}}=+\infty.

Exercice 3

Difficile
Montrer que pour tout x≥0x\ge 0 : ex≥1+x+x22e^{x}\ge 1+x+\dfrac{x^{2}}{2}.
Voir la correction
Posons g(x)=ex−1−x−x22g(x)=e^{x}-1-x-\dfrac{x^2}{2}. g(0)=0g(0)=0. g′(x)=ex−1−xg'(x)=e^{x}-1-x, g′(0)=0g'(0)=0. g′′(x)=ex−1≥0g''(x)=e^{x}-1\ge 0 pour x≥0x\ge 0, donc g′g' est croissante sur [0,+∞[[0,+\infty[ et g′(x)≥g′(0)=0g'(x)\ge g'(0)=0. Donc gg est croissante et g(x)≥g(0)=0g(x)\ge g(0)=0, c'est-à-dire ex≥1+x+x22e^{x}\ge 1+x+\dfrac{x^2}{2}.

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation exponentielle ?

Si elle est polynomiale en eˣ, on pose X = eˣ (avec X > 0), on résout l'équation en X, puis on revient à x par x = ln X pour chaque solution positive.

Pourquoi eˣ ≥ 1 + x ?

La fonction exp est convexe : sa courbe reste au-dessus de toutes ses tangentes. La tangente en 0 a pour équation y = 1 + x, d'où l'inégalité, valable pour tout réel x.

exp et ln, quelle relation à l'examen ?

Ce sont des fonctions réciproques. On passe de l'une à l'autre pour résoudre équations et inéquations, et pour transformer une expression (a^x = e^(x ln a)).

À lire aussi

Fonctions logarithmiques — Bac SMBÉquations différentielles — Bac SMBProgramme de Mathématiques Bac SMB