Dipôle RL — Cours Physique Bac SMB

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 7 en Bac SMB, à égalité avec les Sciences de l'Ingénieur (où la bobine intervient dans les moteurs et le filtrage). Le dipôle RL est le pendant du RC : même forme exponentielle, mais τ = L/R au lieu de RC, ce qui inverse l'effet d'une variation de R. Il prépare l'oscillateur RLC.

À l'épreuve

Établir l'équation différentielle de i (loi des mailles avec u_L = L·di/dt + r·i), vérifier ou résoudre i(t) = (E/R)(1 − e^(−t/τ)), déterminer le régime permanent, lire τ graphiquement, comparer l'effet de R à celui d'un RC, et calculer l'énergie magnétique stockée.

Objectifs d'apprentissage

Écrire la tension aux bornes d'une bobine : u_L = L·(di/dt) + r·i
Établir l'équation différentielle de i lors de l'établissement du courant
Résoudre et vérifier i(t) = (E/R)(1 − e^(−t/τ)) et déterminer i en régime permanent
Calculer et lire la constante de temps τ = L/R
Calculer l'énergie magnétique stockée : ½L·i²

Notions clés

Tension aux bornes d'une bobine

Pour une bobine d'inductance

L

et de résistance interne

r

u_L=L\,\dfrac{di}{dt}+r\,i

. Une bobine s'oppose aux variations de courant :

i

est une fonction continue du temps.

Établissement du courant

Avec

E

, résistance totale

R

(incluant

r

) et

L

E=R\,i+L\,\dfrac{di}{dt}

, soit

\dfrac{di}{dt}+\dfrac{R}{L}i=\dfrac{E}{L}

. Solution avec

i(0)=0

i(t)=\dfrac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)

\tau=\dfrac{L}{R}

Constante de temps et énergie

\tau=\dfrac{L}{R}

(en s :

\text{H}/\Omega=\text{s}

) : augmenter $R$ accélère le régime transitoire, contrairement au RC. Régime permanent :

i\to\dfrac{E}{R}

. Énergie magnétique stockée :

\mathcal{E}_L=\dfrac{1}{2}L\,i^{\,2}

Erreurs fréquentes

Écrire τ = RL ou τ = RC pour une bobine : c'est τ = L/R (H/Ω = s).

Oublier la résistance interne r de la bobine dans la résistance totale du circuit.

Croire qu'une bobine impose la continuité de la tension : elle impose la continuité de l'intensité.

Exemple corrigé

Énoncé

Une bobine

L=0{,}60\ \text{H}

r=12\ \Omega

est en série avec

R_0=48\ \Omega

et un générateur

E=24\ \text{V}

. Déterminer la résistance totale,

\tau

, l'intensité en régime permanent et l'expression de

i(t)

Correction

Résistance totale.

R=R_0+r=48+12=60\ \Omega

Constante de temps.

\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{0{,}60}{60}=0{,}010\ \text{s}=10\ \text{ms}

Régime permanent.

\dfrac{di}{dt}\to 0

, donc

E=R\,I_\infty

, soit

I_\infty=\dfrac{24}{60}=0{,}40\ \text{A}

Expression.

i(t)=I_\infty\left(1-e^{-t/\tau}\right)=0{,}40\left(1-e^{-t/0{,}010}\right)

(en ampères).

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Une bobine

L=250\ \text{mH}

est placée dans un circuit de résistance totale

R=50\ \Omega

. Calculer

\tau

Voir la correction

\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{0{,}25}{50}=5{,}0\times10^{-3}\ \text{s}=5{,}0\ \text{ms}

Exercice 2

Moyen

En régime permanent, un courant

i=0{,}80\ \text{A}

traverse une bobine

L=0{,}15\ \text{H}

. Calculer l'énergie magnétique stockée.

Voir la correction

\mathcal{E}_L=\dfrac{1}{2}L\,i^{2}=\dfrac{1}{2}\times0{,}15\times(0{,}80)^{2}=\dfrac{1}{2}\times0{,}15\times0{,}64=0{,}048\ \text{J}=48\ \text{mJ}

Exercice 3

Difficile

À l'instant

t=\tau

lors de l'établissement du courant, quelle fraction de

I_\infty

l'intensité a-t-elle atteinte, et quelle fraction de l'énergie magnétique finale est alors stockée ?

Voir la correction

i(\tau)=I_\infty\left(1-e^{-1}\right)\approx 0{,}63\,I_\infty

. L'énergie magnétique étant

\propto i^{2}

\dfrac{\mathcal{E}_L(\tau)}{\mathcal{E}_{L,\infty}}=\left(1-e^{-1}\right)^{2}\approx 0{,}40

. À

t=\tau

, le courant est à

63\,\%

mais l'énergie n'est qu'à

40\,\%

de sa valeur finale.

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Questions fréquentes

Pourquoi le courant ne peut-il pas être discontinu dans une bobine ?

Parce que u_L = L·(di/dt) : une discontinuité de i donnerait une tension infinie, physiquement impossible. À la fermeture d'un interrupteur, i part donc de 0 et croît continûment.

τ = L/R et τ = RC : comment ne pas les confondre ?

Vérifier l'homogénéité : L/R est en H/Ω = s, RC en Ω·F = s. Retenir l'effet : pour le RL, une grande R rend le circuit rapide ; pour le RC, une grande R le rend lent.

Que se passe-t-il à l'ouverture d'un circuit RL ?

La bobine tente de maintenir le courant : une surtension apparaît à ses bornes (étincelle sur l'interrupteur). Dans les exercices, on ajoute souvent une diode de roue libre ou un résistor de décharge pour l'éviter.