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Mathématiques · Bac SMB · Coefficient 9

Nombres complexes — Cours Maths Bac SMB

Les trois formes d'un complexe, module et argument, la formule de Moivre, les racines n-ièmes, et l'usage géométrique : rotations, natures de triangles, lieux de points.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 9 en Bac SMB — la matière décisive de la filière, devant la Physique-Chimie et les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 7 chacune). Programme SM en 14 chapitres, identique à celui de SMA. Chapitre transversal : il mêle calcul algébrique, trigonométrie et géométrie du plan. Il est presque toujours l'objet d'un exercice complet de l'épreuve.

À l'épreuve

Un exercice en deux temps : une partie calcul (forme exponentielle, résolution d'une équation, racines n-ièmes, application de Moivre), puis une partie géométrie (nature d'un triangle à partir d'affixes, écriture complexe d'une rotation, détermination d'un lieu de points).

Objectifs d'apprentissage

  • Passer d'une forme algébrique à la forme trigonométrique et exponentielle
  • Calculer module et argument d'un produit, d'un quotient, d'une puissance
  • Appliquer la formule de Moivre : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)
  • Déterminer les racines n-ièmes d'un nombre complexe
  • Interpréter |z − a|, arg((z − b)/(z − a)) et l'écriture complexe d'une rotation

Notions clés

Formes et module-argument

z=x+iy=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθz=x+iy=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r e^{i\theta} avec r=∣z∣=x2+y2r=|z|=\sqrt{x^2+y^2} et θ=arg⁡z\theta=\arg z. ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣|z_1z_2|=|z_1||z_2|, arg⁡(z1z2)=arg⁡z1+arg⁡z2\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2 ; ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}, arg⁡z1z2=arg⁡z1−arg⁡z2\arg\dfrac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2.

Moivre et Euler

(eiθ)n=einθ(e^{i\theta})^n=e^{in\theta} (Moivre). cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}, sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} (Euler), utiles pour linéariser.

Racines n-ièmes

Les racines nn-ièmes de a=ρeiφa=\rho e^{i\varphi} sont zk=ρ1/n ei(φn+2kπn)z_k=\rho^{1/n}\,e^{i\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}, k=0,…,n−1k=0,\dots,n-1 : nn points régulièrement répartis sur un cercle de rayon ρ1/n\rho^{1/n}.

Interprétation géométrique

∣z−a∣|z-a| = distance de M(z)M(z) à A(a)A(a). arg⁡z−bz−a=(AM→,BM→)\arg\dfrac{z-b}{z-a}=\big(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM}\big). La rotation de centre Ω(ω)\Omega(\omega) et d'angle θ\theta : z′−ω=eiθ(z−ω)z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega).

Erreurs fréquentes

1

Donner un argument sans préciser modulo 2π, ou hors de ]−π, π].

2

Oublier une racine n-ième : il y en a exactement n.

3

Confondre |z₁ + z₂| et |z₁| + |z₂| (inégalité triangulaire, pas égalité).

4

Écrire la rotation z′ = e^(iθ) z quand le centre n'est pas l'origine.

Exemple corrigé

Énoncé

Mettre z=1+i3z=1+i\sqrt{3} sous forme exponentielle, puis calculer z6z^{6}.

Correction

∣z∣=12+(3)2=4=2|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{4}=2.
cos⁡θ=12\cos\theta=\dfrac{1}{2} et sin⁡θ=32\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}, donc θ=π3\theta=\dfrac{\pi}{3} : z=2 eiπ/3z=2\,e^{i\pi/3}.
z6=26 ei⋅6π/3=64 ei⋅2πz^{6}=2^{6}\,e^{i\cdot 6\pi/3}=64\,e^{i\cdot 2\pi}.
ei⋅2π=1e^{i\cdot 2\pi}=1, donc z6=64z^{6}=64.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Écrire z=−1+iz=-1+i sous forme trigonométrique puis exponentielle.
Voir la correction
∣z∣=1+1=2|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt2. cos⁡θ=−12\cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt2}, sin⁡θ=12\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt2}, donc θ=3π4\theta=\dfrac{3\pi}{4}. z=2(cos⁡3π4+isin⁡3π4)=2 ei 3π/4z=\sqrt2\left(\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)=\sqrt2\,e^{i\,3\pi/4}.

Exercice 2

Moyen
Résoudre dans C\mathbb{C} : z3=8z^{3}=8.
Voir la correction
8=8ei⋅08=8e^{i\cdot 0}, donc zk=81/3ei 2kπ/3=2ei 2kπ/3z_k=8^{1/3}e^{i\,2k\pi/3}=2e^{i\,2k\pi/3}, k=0,1,2k=0,1,2 : z0=2z_0=2, z1=2ei 2π/3=−1+i3z_1=2e^{i\,2\pi/3}=-1+i\sqrt3, z2=2e−i 2π/3=−1−i3z_2=2e^{-i\,2\pi/3}=-1-i\sqrt3.

Exercice 3

Difficile
Soient AA, BB, CC d'affixes a=1a=1, b=3b=3, c=2+i3c=2+i\sqrt3. Montrer que le triangle ABCABC est équilatéral.
Voir la correction
c−ab−a=1+i32=eiπ/3\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{1+i\sqrt3}{2}=e^{i\pi/3}. Donc ∣c−ab−a∣=1\left|\dfrac{c-a}{b-a}\right|=1, d'où AC=ABAC=AB, et arg⁡c−ab−a=π3\arg\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{\pi}{3}, d'où (AB→,AC→)=π3\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)=\dfrac{\pi}{3}. Un triangle isocèle en AA avec un angle de π3\dfrac{\pi}{3} est équilatéral.

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Questions fréquentes

Comment mettre un complexe sous forme exponentielle ?

On calcule le module r = √(x² + y²), puis un argument θ tel que cos θ = x/r et sin θ = y/r. Alors z = r e^(iθ).

Combien un nombre complexe a-t-il de racines n-ièmes ?

Exactement n, réparties régulièrement sur un cercle centré à l'origine, de rayon la racine n-ième du module.

Comment reconnaître une figure géométrique avec des affixes ?

On calcule (c − a)/(b − a) : son module compare AC et AB, son argument donne l'angle en A. Module 1 et argument π/2 : triangle isocèle rectangle en A ; argument π/3 avec module 1 : triangle équilatéral.

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