Structures algébriques — Cours Maths Bac SMB

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 9 en Bac SMB — la matière décisive de la filière, devant la Physique-Chimie et les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 7 chacune). Programme SM en 14 chapitres, identique à celui de SMA. Comme l'arithmétique et les espaces vectoriels, ce chapitre est spécifique aux filières SM. Il donne un exercice de raisonnement pur, sans calcul lourd.

À l'épreuve

Un exercice qui définit une loi $*$ sur un ensemble et demande de montrer que $(E,*)$ est un groupe (souvent abélien) : on vérifie loi interne, associativité, élément neutre, symétrique ; parfois montrer qu'une partie est un sous-groupe, ou qu'une application est un morphisme et en décrire noyau et image.

Objectifs d'apprentissage

Vérifier qu'une loi est interne, associative, commutative
Déterminer l'élément neutre et le symétrique d'un élément
Montrer que (E, *) est un groupe, puis un groupe abélien
Utiliser le critère de sous-groupe : partie non vide, stable par x * y⁻¹
Reconnaître un anneau, un corps, et vérifier qu'une application est un morphisme

Notions clés

Loi de composition interne

*

est interne sur

E

\forall x,y\in E,\ x*y\in E

. Elle est associative si

(x*y)*z=x*(y*z)

, commutative si

x*y=y*x

Groupe

(E,*)

est un groupe si

*

est interne, associative, admet un élément neutre

e

(

x*e=e*x=x

) et si tout

x

a un symétrique

x'

(

x*x'=x'*x=e

). Il est abélien si

*

est de plus commutative.

Sous-groupe

H\subset E

est un sous-groupe de

(E,*)

H\neq\varnothing

e\in H

, et

\forall x,y\in H,\ x*y^{-1}\in H

(stabilité par

*

et par passage au symétrique).

Anneau, corps, morphisme

(A,+,\times)

est un anneau si

(A,+)

est abélien,

\times

est associative avec neutre

1

et distributive sur

+

. Un corps est un anneau où tout élément non nul est inversible.

f:(E,*)\to(F,\perp)

est un morphisme si

f(x*y)=f(x)\perp f(y)

Erreurs fréquentes

Vérifier la commutativité et oublier l'associativité (ce sont deux propriétés distinctes).

Donner un neutre « à droite » sans vérifier qu'il l'est aussi « à gauche ».

Proposer un symétrique sans vérifier qu'il appartient bien à E.

Confondre élément neutre de + (0) et élément neutre de × (1) dans un anneau.

Exemple corrigé

Énoncé

Sur

E=\mathbb{R}\setminus\{-1\}

, on pose

x*y=x+y+xy

. Montrer que

(E,*)

est un groupe commutatif.

Correction

Astuce.

x*y=x+y+xy=(1+x)(1+y)-1

Loi interne. Si

x,y\neq -1

, alors

1+x\neq 0

1+y\neq 0

, donc

(1+x)(1+y)\neq 0

, donc

x*y\neq -1

x*y\in E

Associativité et commutativité.

(x*y)*z=(1+x)(1+y)(1+z)-1

, expression symétrique et indépendante du parenthésage :

*

est associative ;

x*y=y*x

est immédiat sur

x+y+xy

Neutre.

x*e=x \iff e(1+x)=0 \iff e=0

, et

0\in E

. Symétrique.

x*x'=0 \iff (1+x)(1+x')=1 \iff x'=\dfrac{1}{1+x}-1=\dfrac{-x}{1+x}

, qui appartient à

E

. Donc

(E,*)

est un groupe abélien.

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices illimités et des examens blancs corrigés sur tout le programme de Mathématiques du Bac SMB, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre.

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Sur

\mathbb{R}

, on pose

x\top y=x+y-3

. Déterminer l'élément neutre et le symétrique de

x

Voir la correction

Neutre

e

x+e-3=x \iff e=3

. Symétrique

x'

x+x'-3=3 \iff x'=6-x

(\mathbb{R},\top)

est d'ailleurs un groupe abélien.

Exercice 2

Moyen

Montrer que

H=\{2^{n}\,:\,n\in\mathbb{Z}\}

est un sous-groupe de

(\mathbb{R}_+^{*},\times)

Voir la correction

1=2^{0}\in H

, donc

H\neq\varnothing

. Si

a=2^{p}

b=2^{q}

sont dans

H

, alors

a\times b^{-1}=2^{p}\times 2^{-q}=2^{p-q}\in H

. Le critère de sous-groupe est vérifié.

Exercice 3

Difficile

Soit

f:(\mathbb{R},+)\to(\mathbb{R}_+^{*},\times)

f(x)=e^{x}

. Montrer que

f

est un morphisme de groupes, et préciser s'il est injectif et surjectif.

Voir la correction

f(x+y)=e^{x+y}=e^{x}\,e^{y}=f(x)\times f(y)

f

est un morphisme. Injectif :

f(x)=f(x') \Rightarrow e^{x}=e^{x'} \Rightarrow x=x'

(par

\ln

). Surjectif : pour tout

y>0

y=f(\ln y)

. Donc

f

est un isomorphisme de

(\mathbb{R},+)

sur

(\mathbb{R}_+^{*},\times)

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Comment montrer que (E, *) est un groupe ?

On vérifie dans l'ordre : la loi est interne, elle est associative, il existe un élément neutre, tout élément a un symétrique (dans E). Pour « abélien », on ajoute la commutativité.

Quel est le critère pratique de sous-groupe ?

H non vide (contient le neutre) et, pour tous x, y de H, x * y⁻¹ appartient à H. Cela résume la stabilité par la loi et par passage au symétrique.

Quelle différence entre anneau et corps ?

Dans un anneau, on a une addition (groupe abélien) et une multiplication associative distributive. Un corps est un anneau où, en plus, tout élément non nul possède un inverse pour la multiplication.