Dérivation et étude des fonctions — Cours Maths Bac SMB

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 9 en Bac SMB — la matière décisive de la filière, devant la Physique-Chimie (coefficient 7) et les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 3). Programme SM en 14 chapitres, identique à celui de SMA. La dérivation est réinvestie dans tous les chapitres qui suivent ; l'étude complète d'une fonction (souvent avec logarithme ou exponentielle) est le cœur d'un des deux problèmes de l'épreuve.

À l'épreuve

Un problème type demande le domaine, les limites et branches infinies, le calcul et le signe de f′, le tableau de variations, l'équation d'une tangente, l'étude de la convexité via f″, puis le tracé de la courbe et l'exploitation graphique (nombre de solutions de f(x) = m).

Objectifs d'apprentissage

Dériver une somme, un produit, un quotient et une fonction composée (u∘v)′ = v′ · (u′∘v)
Déterminer l'équation de la tangente à une courbe en un point : y = f′(a)(x − a) + f(a)
Étudier le signe de f′ et dresser un tableau de variations complet
Étudier la convexité par le signe de f″ et repérer les points d'inflexion
Calculer la dérivée d'une fonction réciproque : (f⁻¹)′(y) = 1 / f′(f⁻¹(y))

Notions clés

Règles de dérivation

(uv)'=u'v+uv'

\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

(v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)

. En particulier

(u^n)'=nu'u^{n-1}

(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}

Tangente et approximation

La tangente en

a

a pour équation

y=f'(a)(x-a)+f(a)

. Le signe de

f(x)-\big[f'(a)(x-a)+f(a)\big]

donne la position locale de la courbe par rapport à sa tangente.

Sens de variation

Sur un intervalle :

f'>0 \Rightarrow f

strictement croissante ;

f'<0 \Rightarrow f

strictement décroissante ;

f'

s'annule en changeant de signe

\Rightarrow

extremum local.

Convexité et dérivée réciproque

f''>0

f

convexe (courbe au-dessus de ses tangentes) ;

f''<0

: concave ;

f''

change de signe en

a

: point d'inflexion. Si

f

est une bijection dérivable avec

f'(x)\neq 0

, alors

(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}

où

y=f(x)

Branches infinies et asymptotes

\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty

, la droite

x = a

est asymptote verticale. Si

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b

, la droite

y = b

est asymptote horizontale. Si

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty

, on étudie

\dfrac{f(x)}{x}

: s'il tend vers

\pm\infty

, la courbe a une branche parabolique de direction

(Oy)

; s'il tend vers 0, une branche parabolique de direction

(Ox)

; s'il tend vers un réel

a \ne 0

, on étudie

f(x) - ax

: une limite finie

b

donne l'asymptote oblique

y = ax + b

, une limite infinie une branche parabolique de direction

y = ax

. Exemple :

f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x}

admet l'asymptote oblique

y = x + 1

\pm\infty

et l'asymptote verticale

x = 0

Erreurs fréquentes

Oublier le facteur u′ en dérivant une composée : (sin(u))′ = u′cos(u), pas cos(u).

Conclure « f′(a) = 0 donc extremum » sans vérifier le changement de signe de f′.

Confondre variations (signe de f′) et convexité (signe de f″).

Écrire (f⁻¹)′(y) = 1/f′(y) : c'est 1/f′(x) avec x = f⁻¹(y).

Exemple corrigé

Énoncé

Soit

f(x)=x+1+\dfrac{1}{x-1}

sur

\mathbb{R}\setminus\{1\}

. Étudier ses variations et donner l'équation de la tangente en

x=2

Correction

Dérivée.

f'(x)=1-\dfrac{1}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2}=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}

Signe. Le dénominateur est

>0

f'(x)

a le signe de

x(x-2)

f'>0

sur

]-\infty,0[

]2,+\infty[

f'<0

sur

]0,1[

]1,2[

Variations.

f

croît sur

]-\infty,0]

, décroît sur

[0,1[

puis sur

]1,2]

, croît sur

[2,+\infty[

. Maximum local

f(0)=0

, minimum local

f(2)=4

Tangente en $2$ .

f(2)=2+1+1=4

f'(2)=\dfrac{2\times 0}{1}=0

, donc la tangente est horizontale :

y=4

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Soit

f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}

. Calculer

f'

et donner l'équation de la tangente en

x=-1

Voir la correction

f'(x)=\dfrac{2(x+3)-(2x-1)}{(x+3)^2}=\dfrac{7}{(x+3)^2}

f(-1)=\dfrac{-3}{2}

f'(-1)=\dfrac{7}{4}

. Tangente :

y=\dfrac{7}{4}(x+1)-\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{4}x+\dfrac{1}{4}

Exercice 2

Moyen

Étudier la convexité de

f(x)=x^3-3x^2

et déterminer son point d'inflexion.

Voir la correction

f'(x)=3x^2-6x

f''(x)=6x-6=6(x-1)

f''<0

sur

]-\infty,1[

(concave),

f''>0

sur

]1,+\infty[

(convexe).

f''

change de signe en

1

: point d'inflexion

I\big(1;f(1)\big)=(1;-2)

Exercice 3

Difficile

Soit

f(x)=x^3+x

. Montrer que

f

réalise une bijection de

\mathbb{R}

sur

\mathbb{R}

et calculer

(f^{-1})'(2)

Voir la correction

f'(x)=3x^2+1>0

f

est continue et strictement croissante, avec

\lim_{-\infty}f=-\infty

\lim_{+\infty}f=+\infty

, donc bijection de

\mathbb{R}

sur

\mathbb{R}

f(1)=2

, donc

f^{-1}(2)=1

(f^{-1})'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{4}

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Questions fréquentes

Comment trouver l'équation d'une tangente ?

y = f′(a)(x − a) + f(a). On calcule f(a) et f′(a), on remplace. Une tangente horizontale correspond à f′(a) = 0.

À quoi sert l'étude de la convexité ?

Elle précise l'allure de la courbe (au-dessus ou au-dessous de ses tangentes) et localise les points d'inflexion. Elle sert aussi à démontrer des inégalités (courbe au-dessus d'une corde ou d'une tangente).

La dérivée d'une réciproque est-elle au programme SM ?

Oui. Si f est une bijection dérivable de dérivée non nulle, (f⁻¹)′(y) = 1/f′(x) avec x = f⁻¹(y). On l'utilise surtout après le théorème de la bijection.