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Mathématiques · Bac SMB · Coefficient 9

Théorème de Rolle et TAF — Cours Maths Bac SMB

Deux théorèmes propres au programme SM : Rolle (une dérivée qui s'annule) et le TAF (un accroissement égal à une pente), avec leur conséquence la plus utile — l'inégalité des accroissements finis.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 9 en Bac SMB — la matière décisive de la filière, devant la Physique-Chimie et les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 7 chacune). Programme SM en 14 chapitres, identique à celui de SMA. Rolle et le TAF n'existent qu'au programme des filières Sciences Mathématiques (SMA/SMB). Ils prolongent la dérivation et outillent l'étude des suites récurrentes et la démonstration d'inégalités.

À l'épreuve

Souvent une question intermédiaire : appliquer Rolle pour prouver que f′ (ou une équation) admet une racine, ou utiliser l'inégalité des accroissements finis pour majorer |uₙ₊₁ − ℓ| par k|uₙ − ℓ| et en déduire la convergence d'une suite avec une vitesse.

Objectifs d'apprentissage

  • Énoncer le théorème de Rolle et vérifier ses trois hypothèses
  • Énoncer le TAF et l'interpréter géométriquement (pente de la corde = pente d'une tangente)
  • Établir l'inégalité des accroissements finis à partir d'un encadrement de f′
  • Appliquer le TAF pour comparer f(b) − f(a) et (b − a)
  • Utiliser l'inégalité des accroissements finis pour majorer |uₙ − ℓ| et conclure à la convergence

Notions clés

Théorème de Rolle

Si ff est continue sur [a,b][a,b], dérivable sur ]a,b[]a,b[ et f(a)=f(b)f(a)=f(b), alors il existe c∈ ]a,b[c\in\,]a,b[ tel que f′(c)=0f'(c)=0.

Théorème des accroissements finis (TAF)

Si ff est continue sur [a,b][a,b] et dérivable sur ]a,b[]a,b[, il existe c∈ ]a,b[c\in\,]a,b[ tel que f(b)−f(a)=(b−a) f′(c)f(b)-f(a)=(b-a)\,f'(c). Géométriquement : la pente de la corde [AB][AB] est atteinte par une tangente.

Inégalité des accroissements finis (IAF)

Si de plus m≤f′(x)≤Mm\le f'(x)\le M sur ]a,b[]a,b[, alors m(b−a)≤f(b)−f(a)≤M(b−a)m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a). En particulier, si ∣f′∣≤k|f'|\le k, alors ∣f(b)−f(a)∣≤k ∣b−a∣|f(b)-f(a)|\le k\,|b-a| : ff est kk-lipschitzienne.

Application aux suites

Si un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), f(ℓ)=ℓf(\ell)=\ell et ∣f′∣≤k<1|f'|\le k<1 sur un intervalle stable, alors ∣un+1−ℓ∣=∣f(un)−f(ℓ)∣≤k ∣un−ℓ∣|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell)|\le k\,|u_n-\ell|, d'où ∣un−ℓ∣≤kn∣u0−ℓ∣→0|u_n-\ell|\le k^n|u_0-\ell|\to 0.

Erreurs fréquentes

1

Appliquer Rolle sans l'hypothèse f(a) = f(b).

2

Oublier que la dérivabilité n'est requise que sur l'intervalle ouvert ]a,b[.

3

Croire que le TAF donne la valeur de c : il en donne seulement l'existence.

4

Utiliser l'IAF avec k ≥ 1 pour conclure à la convergence d'une suite : il faut k < 1.

Exemple corrigé

Énoncé

Montrer que pour tous réels aa et bb : ∣sin⁡b−sin⁡a∣≤∣b−a∣|\sin b-\sin a|\le |b-a|.

Correction

Si a=ba=b l'inégalité est évidente. Supposons a<ba<b.
f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x est continue et dérivable sur R\mathbb{R}, donc sur [a,b][a,b].
Par le TAF, il existe c∈ ]a,b[c\in\,]a,b[ tel que sin⁡b−sin⁡a=(b−a)cos⁡c\sin b-\sin a=(b-a)\cos c.
Donc ∣sin⁡b−sin⁡a∣=∣b−a∣ ∣cos⁡c∣≤∣b−a∣|\sin b-\sin a|=|b-a|\,|\cos c|\le |b-a| car ∣cos⁡c∣≤1|\cos c|\le 1. (Si a>ba>b, on échange les rôles.)

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Soit f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x. Justifier l'existence de c∈ ]0;3[c\in\,]0;\sqrt3[ tel que f′(c)=0f'(c)=0.
Voir la correction
ff est continue sur [0,3][0,\sqrt3], dérivable sur ]0,3[]0,\sqrt3[, et f(0)=0=f(3)f(0)=0=f(\sqrt3) (car (3)3−33=33−33=0(\sqrt3)^3-3\sqrt3=3\sqrt3-3\sqrt3=0). Par le théorème de Rolle, il existe c∈ ]0,3[c\in\,]0,\sqrt3[ avec f′(c)=0f'(c)=0 (ici f′(x)=3x2−3f'(x)=3x^2-3 s'annule en x=1x=1).

Exercice 2

Moyen
Soit ff dérivable sur [1;2][1;2] avec 1≤f′(x)≤31\le f'(x)\le 3 pour tout xx. Encadrer f(2)−f(1)f(2)-f(1).
Voir la correction
Par le TAF, il existe c∈ ]1,2[c\in\,]1,2[ tel que f(2)−f(1)=(2−1)f′(c)=f′(c)f(2)-f(1)=(2-1)f'(c)=f'(c). Comme 1≤f′(c)≤31\le f'(c)\le 3, on a 1≤f(2)−f(1)≤31\le f(2)-f(1)\le 3.

Exercice 3

Difficile
Soit ff dérivable sur R\mathbb{R} avec ∣f′(x)∣≤12|f'(x)|\le\tfrac12, et (un)(u_n) définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n). On suppose que ff admet un point fixe ℓ\ell. Montrer que ∣un−ℓ∣≤(12)n∣u0−ℓ∣|u_n-\ell|\le\left(\tfrac12\right)^n|u_0-\ell| et conclure.
Voir la correction
Par l'inégalité des accroissements finis, ∣un+1−ℓ∣=∣f(un)−f(ℓ)∣≤12∣un−ℓ∣|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell)|\le\tfrac12|u_n-\ell|. Par récurrence, ∣un−ℓ∣≤(12)n∣u0−ℓ∣|u_n-\ell|\le\left(\tfrac12\right)^n|u_0-\ell|. Comme (12)n→0\left(\tfrac12\right)^n\to 0, on obtient un→ℓu_n\to\ell.

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Questions fréquentes

Quelle différence entre Rolle et le TAF ?

Rolle est le cas particulier du TAF où f(a) = f(b) : la corde est horizontale, donc la tangente aussi (f′(c) = 0). Le TAF généralise à une corde de pente quelconque.

Qu'est-ce que l'inégalité des accroissements finis sert à démontrer ?

Des inégalités du type |f(b) − f(a)| ≤ k|b − a| (fonctions lipschitziennes), la convergence de suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ) avec une vitesse géométrique, et des encadrements de valeurs approchées.

Ces théorèmes sont-ils dans toutes les filières ?

Non : Rolle et le TAF sont spécifiques aux filières Sciences Mathématiques (SMA et SMB). Les autres filières s'arrêtent à la dérivation et à l'étude des variations.

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