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Mathématiques · Bac SMB · Coefficient 9

Fonctions logarithmiques — Cours Maths Bac SMB

La fonction ln : définition comme primitive de 1/x, règles de calcul, limites et croissances comparées, dérivée d'un logarithme composé, et étude de fonctions faisant intervenir ln.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 9 en Bac SMB — la matière décisive de la filière, devant la Physique-Chimie et les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 7 chacune). Programme SM en 14 chapitres, identique à celui de SMA. Le logarithme et l'exponentielle forment le cœur analytique de l'épreuve : au moins un des deux problèmes porte sur l'étude d'une fonction les combinant.

À l'épreuve

Étude complète d'une fonction du type x ↦ x − ln x ou x ↦ (ln x)/x : domaine, limites (avec croissances comparées), dérivée, tableau, extremum, tracé ; parfois une équation ou inéquation avec ln résolue par étude de fonction.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(aⁿ) = n ln a
  • Résoudre une équation ou une inéquation avec ln après avoir fixé le domaine
  • Connaître les limites : ln x → +∞ (lentement), (ln x)/x → 0, x ln x → 0⁺
  • Dériver un logarithme composé : (ln u)′ = u′/u
  • Mener l'étude complète d'une fonction contenant ln

Notions clés

Définition et propriétés

ln⁡\ln est la primitive de x↦1xx\mapsto\dfrac1x sur ]0,+∞[]0,+\infty[ qui s'annule en 11. ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a+\ln b, ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b, ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n)=n\ln a, ln⁡a=12ln⁡a\ln\sqrt a=\tfrac12\ln a.

Sens de variation et limites

ln⁡\ln est strictement croissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[, ln⁡1=0\ln 1=0, ln⁡e=1\ln e=1. lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty, lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty.

Croissances comparées

lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0, plus généralement ln⁡xxα→0\dfrac{\ln x}{x^\alpha}\to 0 (α>0\alpha>0) ; lim⁡x→0+xln⁡x=0\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0 ; lim⁡x→1ln⁡xx−1=1\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln x}{x-1}=1.

Dérivée

(ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac1x et, pour u>0u>0 dérivable, (ln⁡u)′=u′u(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}. Une primitive de u′u\dfrac{u'}{u} est donc ln⁡∣u∣\ln|u|.

Erreurs fréquentes

1

Résoudre une équation avec ln sans fixer d'abord le domaine (arguments strictement positifs).

2

Écrire ln(a + b) = ln a + ln b : faux ; la règle porte sur le produit.

3

Négliger les croissances comparées et déclarer « +∞ − ∞ » sans lever la forme.

4

Dériver ln(u) en 1/u en oubliant le facteur u′.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} : ln⁡(x−1)+ln⁡(x+2)=ln⁡(4x)\ln(x-1)+\ln(x+2)=\ln(4x).

Correction

Domaine. Il faut x−1>0x-1>0, x+2>0x+2>0 et 4x>04x>0, soit x>1x>1.
Regroupement. ln⁡((x−1)(x+2))=ln⁡(4x)\ln\big((x-1)(x+2)\big)=\ln(4x), donc (x−1)(x+2)=4x(x-1)(x+2)=4x.
Résolution. x2+x−2=4x  ⟺  x2−3x−2=0  ⟺  x=3±172x^2+x-2=4x \iff x^2-3x-2=0 \iff x=\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{2}.
Domaine. 3+172≈3,56>1\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\approx 3{,}56>1 (retenue) ; 3−172≈−0,56<1\dfrac{3-\sqrt{17}}{2}\approx -0{,}56<1 (rejetée). S={3+172}S=\left\{\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\right\}.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Résoudre dans R\mathbb{R} : ln⁡(2x−3)=ln⁡(x+1)\ln(2x-3)=\ln(x+1).
Voir la correction
Domaine : x>32x>\tfrac32. L'équation équivaut à 2x−3=x+12x-3=x+1, soit x=4x=4. Comme 4>324>\tfrac32, S={4}S=\{4\}.

Exercice 2

Moyen
Calculer lim⁡x→+∞(x−ln⁡x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x-\ln x) et lim⁡x→0+xln⁡x\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x.
Voir la correction
x−ln⁡x=x(1−ln⁡xx)x-\ln x=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right). Comme ln⁡xx→0\dfrac{\ln x}{x}\to 0, le facteur tend vers 11 et x→+∞x\to+\infty, donc x−ln⁡x→+∞x-\ln x\to+\infty. Par croissance comparée, lim⁡x→0+xln⁡x=0\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0 (par valeurs négatives).

Exercice 3

Difficile
Étudier f(x)=ln⁡xxf(x)=\dfrac{\ln x}{x} sur ]0;+∞[]0;+\infty[ : limites, variations, extremum.
Voir la correction
lim⁡x→0+f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty et lim⁡x→+∞f(x)=0+\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0^+ (croissance comparée). f′(x)=1x⋅x−ln⁡xx2=1−ln⁡xx2f'(x)=\dfrac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}. f′(x)>0  ⟺  ln⁡x<1  ⟺  x<ef'(x)>0 \iff \ln x<1 \iff x<e. Donc ff croît sur ]0,e]]0,e], décroît sur [e,+∞[[e,+\infty[, avec un maximum f(e)=1ef(e)=\dfrac1e.

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Questions fréquentes

Comment résoudre une équation avec des logarithmes ?

On détermine d'abord le domaine (chaque argument > 0), on regroupe les ln en un seul de chaque côté, on identifie les arguments, on résout, puis on garde les solutions dans le domaine.

Que signifie « croissance comparée » ?

À l'infini, x l'emporte sur ln x : (ln x)/x → 0. C'est ce qui permet de lever des formes indéterminées du type +∞ − ∞ ou ∞/∞ contenant un logarithme.

Quelle est la dérivée de ln(u) ?

u′/u, définie là où u > 0. C'est aussi pourquoi une primitive de u′/u est ln|u|.

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