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Mathématiques · Bac SMB · Coefficient 9

Arithmétique dans ℤ — Cours Maths Bac SMB

Un chapitre propre aux filières SM : divisibilité et division euclidienne, PGCD et Euclide, Bézout et Gauss, nombres premiers, congruences et petit théorème de Fermat.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 9 en Bac SMB — la matière décisive de la filière, devant la Physique-Chimie (coefficient 7) et les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 3). Programme SM en 14 chapitres, identique à celui de SMA. L'arithmétique n'existe qu'en SMA/SMB. Elle fait l'objet d'un exercice autonome, indépendant de l'analyse, qui récompense la rigueur du raisonnement.

À l'épreuve

Un exercice progressif : reste d'une puissance modulo n via les congruences, PGCD et coefficients de Bézout par l'algorithme d'Euclide, résolution d'une équation diophantienne ax + by = c, et une divisibilité à démontrer par récurrence ou par congruences.

Objectifs d'apprentissage

  • Poser une division euclidienne et manipuler la relation a = bq + r (0 ≤ r < |b|)
  • Calculer un PGCD par l'algorithme d'Euclide et en déduire des coefficients de Bézout
  • Appliquer le théorème de Gauss : si a | bc et pgcd(a,b) = 1, alors a | c
  • Résoudre une équation diophantienne ax + by = c
  • Calculer avec les congruences et appliquer le petit théorème de Fermat

Notions clés

Division euclidienne et divisibilité

Pour a∈Za\in\mathbb{Z}, b∈Z∗b\in\mathbb{Z}^*, il existe un unique couple (q,r)(q,r) avec a=bq+ra=bq+r et 0≤r<∣b∣0\le r<|b|. b∣a  ⟺  r=0b\mid a \iff r=0.

PGCD, Euclide, Bézout

\pgcd(a,b)=\pgcd(b,r)\pgcd(a,b)=\pgcd(b,r) (Euclide). Bézout : \pgcd(a,b)=d  ⟺  ∃ (u,v)∈Z2, au+bv=d\pgcd(a,b)=d \iff \exists\,(u,v)\in\mathbb{Z}^2,\ au+bv=d. En particulier aa et bb sont premiers entre eux   ⟺  ∃ (u,v), au+bv=1\iff \exists\,(u,v),\ au+bv=1.

Gauss et nombres premiers

Gauss : si a∣bca\mid bc et \pgcd(a,b)=1\pgcd(a,b)=1, alors a∣ca\mid c. Tout entier ≥2\ge 2 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.

Congruences et Fermat

a≡b [n]a\equiv b\ [n] signifie n∣a−bn\mid a-b ; les congruences se somment, se multiplient, s'élèvent à une puissance. Petit théorème de Fermat : si pp est premier et p∤ap\nmid a, alors ap−1≡1 [p]a^{p-1}\equiv 1\ [p].

Systèmes de numération

Tout entier naturel NN s'écrit de façon unique dans une base b≥2b \ge 2 : N=anbn+⋯+a1b+a0N = a_n b^n + \dots + a_1 b + a_0, avec des chiffres 0≤ai<b0 \le a_i < b ; on note N=an…a1a0‾(b)N = \overline{a_n \dots a_1 a_0}^{(b)}. Pour passer de la base 10 à la base bb, on fait des divisions euclidiennes successives par bb et on lit les restes à l'envers. Exemples : 45=32+8+4+1=101101‾(2)45 = 32 + 8 + 4 + 1 = \overline{101101}^{(2)}, et 231‾(5)=2×25+3×5+1=66\overline{231}^{(5)} = 2 \times 25 + 3 \times 5 + 1 = 66. Les critères de divisibilité en base 10 viennent des congruences 10≡1 [9]10 \equiv 1\ [9] et 10≡−1 [11]10 \equiv -1\ [11].

Erreurs fréquentes

1
Écrire un reste négatif ou ≥ |b| dans une division euclidienne.
2
Appliquer Gauss sans l'hypothèse pgcd(a,b) = 1.
3
Simplifier une congruence par un facteur non premier avec le module.
4
Oublier que le petit théorème de Fermat exige p premier et p ∤ a.

Exemple corrigé

Énoncé

Déterminer \pgcd(1160,420)\pgcd(1160,420) par l'algorithme d'Euclide, puis une relation de Bézout.

Correction

1160=2×420+3201160=2\times 420+320 ; 420=1×320+100420=1\times 320+100 ; 320=3×100+20320=3\times 100+20 ; 100=5×20+0100=5\times 20+0.
Le dernier reste non nul est 2020 : \pgcd(1160,420)=20\pgcd(1160,420)=20.
Remontée : 20=320−3×100=320−3(420−320)=4×320−3×42020=320-3\times 100=320-3(420-320)=4\times 320-3\times 420.
=4(1160−2×420)−3×420=4×1160−11×420=4(1160-2\times 420)-3\times 420=4\times 1160-11\times 420. Ainsi 4×1160−11×420=204\times 1160-11\times 420=20.

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Déterminer le reste de la division euclidienne de 21002^{100} par 77.
Voir la correction
23=8≡1 [7]2^3=8\equiv 1\ [7]. Or 100=3×33+1100=3\times 33+1, donc 2100=(23)33×2≡133×2=2 [7]2^{100}=(2^3)^{33}\times 2\equiv 1^{33}\times 2=2\ [7]. Le reste est 22.

Exercice 2

Moyen
Résoudre dans Z2\mathbb{Z}^2 l'équation 7x+5y=17x+5y=1.
Voir la correction
Solution particulière : 7×3+5×(−4)=21−20=17\times 3+5\times(-4)=21-20=1, donc (3,−4)(3,-4). Solution générale : x=3+5kx=3+5k, y=−4−7ky=-4-7k, k∈Zk\in\mathbb{Z} (car 7(x−3)=−5(y+4)7(x-3)=-5(y+4) et \pgcd(7,5)=1\pgcd(7,5)=1 imposent 5∣x−35\mid x-3).

Exercice 3

Difficile
Montrer que pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, 77 divise 32n+1+2n+23^{2n+1}+2^{n+2}.
Voir la correction
32n+1=3×9n≡3×2n [7]3^{2n+1}=3\times 9^{n}\equiv 3\times 2^{n}\ [7] (car 9≡29\equiv 2). 2n+2=4×2n2^{n+2}=4\times 2^{n}. Donc 32n+1+2n+2≡3×2n+4×2n=7×2n≡0 [7]3^{2n+1}+2^{n+2}\equiv 3\times 2^{n}+4\times 2^{n}=7\times 2^{n}\equiv 0\ [7].

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Questions fréquentes

Comment calculer des coefficients de Bézout ?

On applique l'algorithme d'Euclide pour obtenir le PGCD, puis on remonte les égalités successives en exprimant chaque reste en fonction des deux nombres de départ.

À quoi sert le théorème de Gauss ?

À « simplifier » une divisibilité : de a | bc et pgcd(a,b) = 1 on tire a | c. C'est l'outil clé pour résoudre les équations diophantiennes et étudier les diviseurs.

Comment trouver le reste d'une grande puissance modulo n ?

On cherche un petit exposant k tel que aᵏ ≡ 1 [n] (petit théorème de Fermat si n est premier), puis on réduit l'exposant modulo k.

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