Dénombrement et probabilités — Cours Maths Bac SMB

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 9 en Bac SMB — la matière décisive de la filière, devant la Physique-Chimie et les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 7 chacune). Programme SM en 14 chapitres, identique à celui de SMA. Le chapitre qui clôt le programme : indépendant de l'analyse, il donne un exercice complet où le dénombrement sert de base au calcul des probabilités.

À l'épreuve

Un exercice type urne ou tirage : dénombrer les issues (combinaisons), calculer des probabilités d'événements, utiliser un arbre et la formule des probabilités totales, définir une variable aléatoire X, donner sa loi et son espérance ; parfois une expérience répétée modélisée par une loi binomiale.

Objectifs d'apprentissage

Dénombrer avec le principe multiplicatif : p-listes nᵖ, arrangements Aₙᵖ, permutations n!, combinaisons Cₙᵖ
Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité
Utiliser P(A|B), l'indépendance, la formule des probabilités totales et celle de Bayes
Définir une variable aléatoire, donner sa loi et calculer E(X) et V(X)
Reconnaître et exploiter une loi binomiale B(n, p)

Notions clés

Outils de dénombrement

Tirages ordonnés avec remise :

n^{p}

. Ordonnés sans remise :

A_n^{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}

. Non ordonnés sans remise :

C_n^{p}=\dbinom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}

. Permutations :

n!

Probabilité conditionnelle

P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

(

P(B)\neq 0

A

B

indépendants

\iff P(A\cap B)=P(A)P(B)

Probabilités totales et Bayes

(B_1,\dots,B_n)

est un système complet d'événements :

P(A)=\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)

. Bayes :

P(B_i\mid A)=\dfrac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{P(A)}

Variable aléatoire et loi binomiale

E(X)=\sum_i x_i\,P(X=x_i)

V(X)=E(X^2)-E(X)^2

. Pour

X\sim\mathcal{B}(n,p)

P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

E(X)=np

V(X)=np(1-p)

Erreurs fréquentes

Utiliser un arrangement (ordre) là où l'énoncé décrit un tirage simultané (combinaison).

Écrire P(A ∩ B) = P(A)P(B) sans avoir justifié l'indépendance.

Oublier une branche dans la formule des probabilités totales.

Confondre P(A|B) et P(B|A).

Exemple corrigé

Énoncé

Une urne contient

5

boules rouges et

3

boules noires. On tire simultanément

3

boules. Calculer la probabilité d'obtenir exactement

2

rouges.

Correction

Tirage simultané : les issues sont les parties à

3

éléments, il y en a

\dbinom{8}{3}=56

Cas favorables : choisir

2

rouges parmi

5

1

noire parmi

3

\dbinom{5}{2}\times\dbinom{3}{1}=10\times 3=30

P(\text{exactement 2 rouges})=\dfrac{30}{56}=\dfrac{15}{28}

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Exercice 1

Facile

Combien de mains de

5

cartes peut-on former à partir d'un jeu de

32

cartes ?

Voir la correction

L'ordre n'intervient pas :

\dbinom{32}{5}=\dfrac{32\times 31\times 30\times 29\times 28}{5!}=\dfrac{24\,165\,120}{120}=201\,376

Exercice 2

Moyen

Une classe compte

60\%

de filles.

70\%

des filles et

40\%

des garçons sont internes. On choisit un élève au hasard ; il est interne. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

Voir la correction

P(F)=0{,}6

P(G)=0{,}4

P(I\mid F)=0{,}7

P(I\mid G)=0{,}4

. Probabilités totales :

P(I)=0{,}6\times 0{,}7+0{,}4\times 0{,}4=0{,}42+0{,}16=0{,}58

. Bayes :

P(F\mid I)=\dfrac{0{,}42}{0{,}58}=\dfrac{21}{29}\approx 0{,}72

Exercice 3

Difficile

On lance

5

fois une pièce équilibrée. Soit

X

le nombre de « pile ». Donner la loi de

X

, puis calculer

E(X)

P(X\ge 1)

Voir la correction

Les lancers sont indépendants et identiques :

X\sim\mathcal{B}\!\left(5,\tfrac12\right)

, donc

P(X=k)=\dbinom{5}{k}\left(\tfrac12\right)^{5}=\dfrac{\binom{5}{k}}{32}

pour

k=0,\dots,5

E(X)=np=5\times\tfrac12=2{,}5

P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-\dfrac{1}{32}=\dfrac{31}{32}

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Questions fréquentes

Arrangement ou combinaison, comment choisir ?

Si l'ordre des éléments compte (podium, code, tirages successifs distincts), c'est un arrangement Aₙᵖ. Si l'ordre est indifférent (tirage simultané, sous-ensemble, main de cartes), c'est une combinaison Cₙᵖ.

Quand utiliser la formule des probabilités totales ?

Quand un événement A peut se produire « en passant par » plusieurs cas incompatibles B₁, …, Bₙ qui recouvrent tout l'univers : P(A) = Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ). L'arbre pondéré en est la traduction visuelle.

Comment reconnaître une loi binomiale ?

Une même épreuve à deux issues (succès/échec) répétée n fois de façon indépendante, avec une probabilité de succès p constante. Alors le nombre de succès X suit B(n, p), avec E(X) = np.