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Mathématiques · Bac PC · Coefficient 7

Fonctions logarithmiques — Cours Maths Bac PC

La fonction ln : propriétés algébriques, dérivée 1/x, limites (dont la croissance comparée) et emploi dans les études de fonctions et la résolution d'équations et d'inéquations.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7. ln est étudiée juste avant l'exponentielle, dont elle est la réciproque. Elle intervient aussi en Physique-Chimie (pH, décroissance radioactive, cinétique), mais l'épreuve de maths l'évalue pour elle-même : dérivation, limites, étude de fonction.

À l'épreuve

Le plus souvent au sein d'une étude de fonction du type f(x) = ax + b + c·ln x ou f(x) = (ln x)/x : domaine, dérivée, tableau de variations, limites aux bornes et branches infinies, parfois avec une fonction auxiliaire dont on étudie le signe.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser les propriétés algébriques de ln pour simplifier une expression ou résoudre une équation
  • Dériver une fonction contenant ln, y compris ln u, et en étudier les variations
  • Calculer les limites de ln aux bornes et exploiter la croissance comparée
  • Résoudre des équations et inéquations avec ln après avoir posé le domaine
  • Mener une étude complète d'une fonction faisant intervenir ln

Notions clés

Propriétés algébriques

Pour a,b>0a,b>0 : ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a+\ln b, ln⁡ ⁣ab=ln⁡a−ln⁡b\ln\!\frac{a}{b}=\ln a-\ln b, ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n)=n\ln a, ln⁡a=12ln⁡a\ln\sqrt{a}=\tfrac{1}{2}\ln a. ln⁡1=0\ln 1=0, ln⁡e=1\ln e=1. ln⁡\ln est strictement croissante : ln⁡a=ln⁡b  ⟺  a=b\ln a=\ln b\iff a=b, ln⁡a<ln⁡b  ⟺  a<b\ln a<\ln b\iff a<b.

Dérivée et limites

(ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac{1}{x} sur ]0,+∞[]0,+\infty[ et (ln⁡u)′=u′u\big(\ln u\big)'=\dfrac{u'}{u}. lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty, lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty.

Croissance comparée

lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0, et plus généralement lim⁡x→+∞ln⁡xxα=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^{\alpha}}=0 pour α>0\alpha>0 ; lim⁡x→0+xln⁡x=0\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0. À l'infini, xx l'emporte sur ln⁡x\ln x.

Erreurs fréquentes

1

Écrire ln(a + b) = ln a + ln b : faux. Seul ln(ab) se décompose en somme.

2

Résoudre ln x = k sans poser la condition d'existence x > 0.

3

Oublier que ln u n'est défini que là où u > 0 : le domaine se détermine avant tout calcul.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} : ln⁡(x−1)+ln⁡(x+2)=ln⁡4\ln(x-1)+\ln(x+2)=\ln 4.

Correction

Domaine. Il faut x−1>0x-1>0 et x+2>0x+2>0, donc x>1x>1.
Transformation. ln⁡((x−1)(x+2))=ln⁡4\ln\big((x-1)(x+2)\big)=\ln 4, donc par stricte croissance de ln⁡\ln : (x−1)(x+2)=4(x-1)(x+2)=4.
Résolution. x2+x−2=4x^2+x-2=4, soit x2+x−6=0x^2+x-6=0, (x−2)(x+3)=0(x-2)(x+3)=0 : x=2x=2 ou x=−3x=-3.
Conclusion. Seule x=2x=2 vérifie x>1x>1. S={2}S=\{2\}.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Résoudre 2ln⁡x−ln⁡(x+3)=02\ln x-\ln(x+3)=0.
Voir la correction
Domaine : x>0x>0. L'équation s'écrit ln⁡(x2)=ln⁡(x+3)\ln(x^2)=\ln(x+3), donc x2=x+3x^2=x+3, soit x2−x−3=0x^2-x-3=0, x=1+132x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2} (l'autre racine est négative). S={1+132}S=\left\{\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\right\}.

Exercice 2

Moyen
Étudier les limites de f(x)=ln⁡xxf(x)=\dfrac{\ln x}{x} en 0+0^+ et en +∞+\infty, puis dresser le tableau de variations sur ]0,+∞[]0,+\infty[.
Voir la correction
En 0+0^+ : ln⁡x→−∞\ln x\to-\infty et 1x→+∞\frac{1}{x}\to+\infty, donc f(x)→−∞f(x)\to-\infty. En +∞+\infty : croissance comparée, f(x)→0+f(x)\to 0^+. f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}, du signe de 1−ln⁡x1-\ln x : ff croît sur ]0,e[]0,e[, décroît sur ]e,+∞[]e,+\infty[, maximum f(e)=1ef(e)=\dfrac{1}{e}.

Exercice 3

Difficile
Soit g(x)=x−ln⁡xg(x)=x-\ln x sur ]0,+∞[]0,+\infty[. Montrer que gg admet un minimum, le calculer, et en déduire ln⁡x≤x−1\ln x\le x-1 pour tout x>0x>0.
Voir la correction
g′(x)=1−1x=x−1xg'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x} : négatif sur ]0,1[]0,1[, positif sur ]1,+∞[]1,+\infty[. Minimum en x=1x=1 : g(1)=1g(1)=1. Donc g(x)≥1g(x)\ge 1, c'est-à-dire x−ln⁡x≥1x-\ln x\ge 1, soit ln⁡x≤x−1\ln x\le x-1.

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Questions fréquentes

ln et log, est-ce la même chose au Bac ?

La fonction étudiée en maths est le logarithme népérien ln, de base e. Le logarithme décimal log (base 10) apparaît surtout en Physique-Chimie, pour le pH ; il n'est pas au cœur du programme de maths.

Comment traiter une limite ln x / x ou x·ln x ?

Ce sont des résultats de cours (croissance comparée) : (ln x)/x → 0 en +∞ et x·ln x → 0 en 0⁺. On les cite directement, sauf demande explicite de démonstration.

Faut-il toujours donner le domaine de définition ?

Oui, systématiquement dès qu'il y a un ln : on résout u > 0 avant toute chose. Une réponse hors domaine coûte des points même si le calcul algébrique est juste.

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