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Mathématiques · Bac PC · Coefficient 7

Fonctions exponentielles — Cours Maths Bac PC

La fonction exp, réciproque de ln : e^(a+b) = eᵃ·eᵇ, dérivée égale à elle-même, limites et croissance comparée, et rôle dans l'étude de fonctions et les équations différentielles.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7. L'exponentielle vient juste après ln et prépare directement le chapitre des équations différentielles (y′ = ay), très utilisé en Physique-Chimie (charge d'un condensateur, désintégration radioactive). L'épreuve de maths l'évalue de façon autonome.

À l'épreuve

Étude de fonctions du type f(x) = (ax + b)eˣ ou f(x) = eˣ/x : dérivée (produit/quotient), signe, limites (croissance comparée), asymptotes ; parfois résolution d'une équation e^(2x) − 3eˣ + 2 = 0 par changement d'inconnue X = eˣ.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser la relation e^(a+b) = eᵃ·eᵇ et la stricte croissance de exp
  • Dériver une fonction contenant eᵘ et en étudier les variations
  • Calculer les limites de exp aux bornes et exploiter la croissance comparée
  • Résoudre une équation ou inéquation exponentielle, au besoin par changement d'inconnue
  • Mener une étude complète d'une fonction faisant intervenir eˣ

Notions clés

Propriétés

Pour tous réels a,ba,b : ea+b=eaebe^{a+b}=e^a e^b, e−a=1eae^{-a}=\dfrac{1}{e^a}, (ea)n=ena(e^a)^n=e^{na}. e0=1e^0=1, ex>0e^x>0 pour tout xx. exp⁡\exp est strictement croissante : ea=eb  ⟺  a=be^a=e^b\iff a=b, ea<eb  ⟺  a<be^a<e^b\iff a<b. Réciprocité : ln⁡(ex)=x\ln(e^x)=x et eln⁡x=xe^{\ln x}=x pour x>0x>0.

Dérivée et limites

(ex)′=ex(e^x)'=e^x et (eu)′=u′ eu\big(e^u\big)'=u'\,e^u. lim⁡x→−∞ex=0+\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+, lim⁡x→+∞ex=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty.

Croissance comparée

lim⁡x→+∞exx=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty, lim⁡x→+∞exxn=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^{n}}=+\infty, et lim⁡x→−∞x ex=0\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^x=0. En +∞+\infty, exe^x écrase toute puissance de xx.

Erreurs fréquentes

1

Écrire e^(a+b) = eᵃ + eᵇ : faux, e^(a+b) = eᵃ × eᵇ.

2

Oublier u′ dans (eᵘ)′ = u′·eᵘ (ex. (e^(3x))′ = 3e^(3x)).

3

Croire qu'un facteur eᵘ peut changer un signe ou renverser une inéquation : eᵘ > 0 toujours.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} : e2x−3ex+2=0e^{2x}-3e^{x}+2=0.

Correction

Changement d'inconnue. On pose X=exX=e^x, avec X>0X>0. L'équation devient X2−3X+2=0X^2-3X+2=0.
Résolution en XX. (X−1)(X−2)=0(X-1)(X-2)=0, donc X=1X=1 ou X=2X=2 (les deux sont >0>0).
Retour à xx. ex=1⇒x=0e^x=1\Rightarrow x=0 ; ex=2⇒x=ln⁡2e^x=2\Rightarrow x=\ln 2.
Conclusion. S={0 ; ln⁡2}S=\{0\,;\ \ln 2\}.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Résoudre ex2−1=1e^{x^2-1}=1.
Voir la correction
ex2−1=e0e^{x^2-1}=e^0, donc par injectivité de exp⁡\exp : x2−1=0x^2-1=0, soit x=1x=1 ou x=−1x=-1. S={−1 ;1}S=\{-1\,;1\}.

Exercice 2

Moyen
Soit f(x)=(x−1)exf(x)=(x-1)e^x. Calculer f′(x)f'(x), étudier son signe, dresser le tableau de variations et préciser lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x).
Voir la correction
f′(x)=ex+(x−1)ex=x exf'(x)=e^x+(x-1)e^x=x\,e^x, du signe de xx. ff décroît sur ]−∞,0]]-\infty,0], croît sur [0,+∞[[0,+\infty[, minimum f(0)=−1f(0)=-1. En −∞-\infty : xex→0x e^x\to 0 et ex→0e^x\to 0, donc lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0 (axe des abscisses asymptote).

Exercice 3

Difficile
Montrer que pour tout réel xx, ex≥x+1e^x\ge x+1, avec égalité seulement en x=0x=0.
Voir la correction
Soit φ(x)=ex−x−1\varphi(x)=e^x-x-1. φ′(x)=ex−1\varphi'(x)=e^x-1 : négatif sur ]−∞,0[]-\infty,0[, positif sur ]0,+∞[]0,+\infty[. Minimum en 00 : φ(0)=0\varphi(0)=0. Donc φ(x)≥0\varphi(x)\ge 0, soit ex≥x+1e^x\ge x+1, l'égalité n'ayant lieu qu'en x=0x=0.

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Questions fréquentes

Quel changement d'inconnue pour une équation exponentielle ?

Quand l'équation ne contient que des eˣ, e^(2x) = (eˣ)², etc., on pose X = eˣ avec la contrainte X > 0. On résout en X, puis on revient à x par eˣ = X ⇒ x = ln X.

eˣ / xⁿ tend vers quoi en +∞ ?

Vers +∞ : par croissance comparée, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x. À l'inverse, xⁿ/eˣ → 0 et xⁿ·eˣ → 0 en −∞.

Le signe de eᵘ peut-il changer ?

Jamais : eᵘ > 0 pour toute valeur de u. Dans un produit ou un quotient, le facteur eᵘ ne change pas le signe et ne renverse pas une inéquation quand on divise par lui.

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