Équations différentielles — Cours Maths Bac PC

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7. Ce chapitre s'appuie entièrement sur l'exponentielle. En PC, il est le pont direct vers la Physique-Chimie : circuit RC, désintégration radioactive (N′ = −λN), oscillateur (y″ + ω²y = 0). L'épreuve de maths demande la résolution rigoureuse.

À l'épreuve

Souvent en lien avec une situation : on établit (ou on admet) l'équation différentielle, on donne la solution générale, on détermine la constante avec la condition initiale, puis on étudie ou on interprète la solution (limite, comportement).

Objectifs d'apprentissage

Donner la forme des solutions de y′ = ay et de y′ = ay + b
Déterminer une solution particulière constante de y′ = ay + b
Résoudre y″ + ω²y = 0 et écrire la solution sous la forme A cos(ωx) + B sin(ωx)
Déterminer la solution vérifiant une (ou deux) condition(s) initiale(s)
Étudier ou interpréter la solution obtenue (limite, régime permanent)

Notions clés

y′ = ay

Les solutions sur

\mathbb{R}

y'=ay

sont les fonctions

y(x)=C\,e^{ax}

C\in\mathbb{R}

. La condition

y(x_0)=y_0

détermine

C

de façon unique.

y′ = ay + b

Avec

a\neq 0

, la solution constante est

y_p=-\dfrac{b}{a}

. Les solutions générales sont

y(x)=C\,e^{ax}-\dfrac{b}{a}

C\in\mathbb{R}

(solution générale de

y'=ay

+ solution particulière).

y″ + ω²y = 0

Avec

\omega>0

, les solutions sont

y(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)

(A,B)\in\mathbb{R}^2

, ce qui s'écrit aussi

y(x)=D\cos(\omega x+\varphi)

. Deux conditions (ex.

y(0)

y'(0)

) fixent

A

B

Erreurs fréquentes

Pour y′ = ay + b, oublier la solution particulière constante −b/a et ne donner que C·eᵃˣ.

Se tromper de signe dans l'exposant : la solution de y′ = −λy est C·e^(−λx), pas C·e^(λx).

Confondre y″ + ω²y = 0 (solutions en cos/sin) avec y″ − ω²y = 0 (solutions en e^(±ωx)).

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre

y'=2y+6

, puis déterminer la solution

f

vérifiant

f(0)=1

. Donner

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)

Correction

Solution particulière. On cherche une constante

y_p

0=2y_p+6

, donc

y_p=-3

Solution générale. Les solutions de

y'=2y

sont

Ce^{2x}

, donc celles de

y'=2y+6

sont

y(x)=Ce^{2x}-3

C\in\mathbb{R}

Condition initiale.

f(0)=C-3=1

, donc

C=4

f(x)=4e^{2x}-3

Limite.

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{2x}=0

, donc

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-3

(asymptote horizontale

y=-3

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices illimités et des examens blancs corrigés sur tout le programme de Mathématiques du Bac PC, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre.

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Résoudre

y'=-3y

et donner la solution telle que

y(0)=5

Voir la correction

Solutions :

y(x)=Ce^{-3x}

. Condition :

y(0)=C=5

. Donc

y(x)=5e^{-3x}

Exercice 2

Moyen

Une grandeur

N(t)

vérifie

N'(t)=-0{,}1\,N(t)

avec

N(0)=200

. Exprimer

N(t)

puis calculer

t

tel que

N(t)=100

Voir la correction

N(t)=200\,e^{-0{,}1t}

N(t)=100\iff e^{-0{,}1t}=\dfrac{1}{2}\iff -0{,}1t=-\ln 2\iff t=10\ln 2\approx 6{,}93

Exercice 3

Difficile

Résoudre

y''+4y=0

et déterminer la solution

g

telle que

g(0)=2

g'(0)=-2

Voir la correction

Ici

\omega^2=4

donc

\omega=2

g(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x)

g(0)=A=2

g'(x)=-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)

, donc

g'(0)=2B=-2

, soit

B=-1

. Ainsi

g(x)=2\cos(2x)-\sin(2x)

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Comment trouver la solution particulière de y′ = ay + b ?

On cherche une solution constante yₚ : sa dérivée est nulle, donc 0 = a·yₚ + b, d'où yₚ = −b/a (valable car a ≠ 0). La solution générale est C·eᵃˣ + yₚ.

Pourquoi une condition pour y′ = ay et deux pour y″ + ω²y = 0 ?

L'ordre de l'équation fixe le nombre de constantes : une au premier ordre (C), deux au second (A et B). Il faut autant de conditions que de constantes pour une solution unique.

Le contexte physique est-il évalué en maths ?

L'épreuve de maths évalue la résolution : forme des solutions, constante, étude de la solution. Le contexte physique sert d'habillage ; les unités et l'interprétation fine relèvent de la Physique-Chimie.