Décroissance radioactive — Cours Physique Bac Agro

Dans le programme du Bac Agro

Coefficient 5 en Bac Sciences Agronomiques. Application physique de la fonction exponentielle et du logarithme (Mathématiques coefficient 7). Ancrage agronomique : datation des sols et des sédiments, principe des traceurs radioactifs pour l'étude de la nutrition minérale des plantes.

À l'épreuve

Établir N(t) = N₀·e^(−λt) à partir de dN/dt = −λN, relier λ et t₁/₂, calculer une activité a = λ·N, exploiter a/a₀ = (1/2)^(t/t₁/₂) pour une datation, et équilibrer une équation de désintégration par les lois de Soddy.

Objectifs d'apprentissage

Résoudre dN/dt = −λN et retrouver N(t) = N₀·e^(−λt)
Relier constante radioactive et demi-vie : t₁/₂ = ln2/λ
Définir l'activité a = λ·N et donner son unité (becquerel)
Équilibrer une équation de désintégration α, β⁻, β⁺ avec les lois de Soddy
Exploiter la décroissance pour dater un échantillon

Notions clés

Loi de décroissance

\dfrac{dN}{dt}=-\lambda N

, d'où

N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}

\lambda

(s⁻¹) constante radioactive du noyau.

Demi-vie et activité

N(t_{1/2})=\dfrac{N_0}{2}\Rightarrow t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}

. Activité :

a=-\dfrac{dN}{dt}=\lambda N=a_0\,e^{-\lambda t}

, en becquerels (1 Bq = 1 désintégration/s).

t_{1/2}

est constante pour un noyau donné.

Lois de Soddy

Dans toute désintégration,

A

Z

se conservent.

\alpha

^{4}_{2}\text{He}

\beta^{-}

^{0}_{-1}e

(

n\to p

\beta^{+}

^{0}_{+1}e

(

p\to n

). Le noyau fils excité se désexcite en

\gamma

Composition du noyau, isotopes et diagramme (N,Z)

Un noyau

{}^{A}_{Z}X

contient

Z

protons et

N = A - Z

neutrons ;

A

est le nombre de nucléons. Des isotopes ont le même

Z

(même élément) mais des nombres de neutrons différents :

{}^{12}_{6}C

{}^{14}_{6}C

, ou

{}^{235}_{92}U

{}^{238}_{92}U

. Le diagramme (N,Z) (diagramme de Segrè) place chaque noyau selon son nombre de protons et de neutrons : les noyaux stables forment la vallée de stabilité, proche de la droite

N = Z

pour

Z < 20

, puis au-dessus (

N > Z

) pour les noyaux plus lourds. Un noyau situé au-dessus de la vallée (excès de neutrons) est en général émetteur

\beta^-

, un noyau situé en dessous émetteur

\beta^+

, et les noyaux très lourds (

A > 200

) sont souvent émetteurs

\alpha

Erreurs fréquentes

Confondre la constante radioactive λ (s⁻¹) avec une longueur d'onde.

Croire que la demi-vie dépend des conditions physico-chimiques : elle est constante.

Confondre l'activité (en Bq, un débit) et le nombre de noyaux N (sans unité).

Exemple corrigé

Énoncé

Un échantillon contient à

t=0

N_0=5{,}0\times10^{18}

noyaux radioactifs, de demi-vie

t_{1/2}=6{,}0\ \text{h}

. Calculer

\lambda

, l'activité initiale

a_0

, puis le nombre de noyaux restants après

18\ \text{h}

Correction

Constante radioactive.

\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0{,}693}{6{,}0\times3600}=\dfrac{0{,}693}{2{,}16\times10^{4}}\approx 3{,}2\times10^{-5}\ \text{s}^{-1}

Activité initiale.

a_0=\lambda N_0=3{,}2\times10^{-5}\times5{,}0\times10^{18}=1{,}6\times10^{14}\ \text{Bq}

Après 18 h.

18\ \text{h}=3\,t_{1/2}

, donc

N=\dfrac{N_0}{2^{3}}=\dfrac{5{,}0\times10^{18}}{8}=6{,}25\times10^{17}\ \text{noyaux}

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices et des examens blancs corrigés sur le programme de Physique-Chimie du Bac Agro, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre (selon les limites de ton offre).

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un noyau a une demi-vie

t_{1/2}=4{,}0\ \text{jours}

. Quelle fraction de l'échantillon initial subsiste après

12\ \text{jours}

Voir la correction

12\ \text{jours}=3\,t_{1/2}

, donc

\dfrac{N}{N_0}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=\dfrac{1}{8}=12{,}5\ \%

Exercice 2

Moyen

L'activité d'un échantillon est tombée à

6{,}25\ \%

de sa valeur initiale. Combien de demi-vies se sont écoulées ?

Voir la correction

6{,}25\ \% = \dfrac{1}{16}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}

: 4 demi-vies.

Exercice 3

Difficile

Le polonium

^{210}_{84}\text{Po}

se désintègre par émission

\alpha

. Écrire l'équation et identifier le noyau fils

\text{X}

Voir la correction

^{210}_{84}\text{Po}\longrightarrow\ ^{4}_{2}\text{He}+\ ^{A}_{Z}\text{X}

. Conservation :

A=210-4=206

Z=84-2=82

. Le noyau fils est le plomb

^{206}_{82}\text{Pb}

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

La demi-vie dépend-elle de la température ou de la pression ?

Non. La désintégration est un phénomène nucléaire : la demi-vie d'un noyau donné est une constante, insensible à la température, à la pression ou à l'état chimique de l'atome.

Quelle relation entre λ et la demi-vie ?

t₁/₂ = ln2 / λ. Une grande constante radioactive correspond à une désintégration rapide, donc à une demi-vie courte : les deux grandeurs sont inversement proportionnelles.

Qu'est-ce que l'activité et son unité ?

L'activité a = λ·N est le nombre de désintégrations par seconde d'un échantillon, exprimée en becquerels (1 Bq = 1 désintégration/s). Elle décroît selon la même loi exponentielle que N.