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Mathématiques · Bac STM · Coefficient 7

Dérivation et étude des fonctions — Cours Maths Bac STM

Dériver (y compris une composée et une réciproque), tracer une tangente, dresser un tableau de variations et lire la convexité d'une courbe.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac STM

Coefficient 7 en Bac Sciences et Technologies Mécaniques, à égalité avec les Sciences de l'Ingénieur. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. La dérivation est réinvestie dans tous les chapitres suivants ; l'étude complète d'une fonction est le cœur d'un des deux problèmes.

À l'épreuve

Un problème type demande le domaine, les limites et branches infinies, le signe de f′, le tableau de variations, une tangente, la convexité via f″, puis le tracé et l'exploitation graphique.

Objectifs d'apprentissage

  • Dériver somme, produit, quotient et fonction composée
  • Déterminer l'équation de la tangente : y = f′(a)(x − a) + f(a)
  • Étudier le signe de f′ et dresser un tableau de variations
  • Étudier la convexité par le signe de f″
  • Calculer la dérivée d'une réciproque : (f⁻¹)′(y) = 1 / f′(x) avec x = f⁻¹(y)

Notions clés

Règles de dérivation

(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv', (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, (v∘u)′=u′×(v′∘u)(v\circ u)'=u'\times(v'\circ u).

Tangente et variations

Tangente en aa : y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a). f′>0⇒f'>0 \Rightarrow croissante ; f′<0⇒f'<0 \Rightarrow décroissante ; f′f' s'annule en changeant de signe ⇒\Rightarrow extremum.

Convexité et réciproque

f′′>0f''>0 : convexe ; f′′<0f''<0 : concave ; f′′f'' change de signe : point d'inflexion. (f−1)′(y)=1f′(x)(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(x)} avec y=f(x)y=f(x).

Erreurs fréquentes

1

Oublier le facteur u′ en dérivant une composée.

2

Conclure « f′(a) = 0 donc extremum » sans le changement de signe de f′.

3

Confondre variations (f′) et convexité (f″).

4

Écrire (f⁻¹)′(y) = 1/f′(y).

Exemple corrigé

Énoncé

Soit f(x)=x2+4xf(x)=\dfrac{x^2+4}{x} sur R∗\mathbb{R}^{*}. Étudier ses variations et donner l'asymptote oblique.

Correction

Forme réduite. f(x)=x+4xf(x)=x+\dfrac{4}{x}. Comme 4x→0\dfrac{4}{x}\to 0 en ±∞\pm\infty, la droite y=xy=x est asymptote oblique ; x=0x=0 est asymptote verticale.
Dérivée. f′(x)=1−4x2=x2−4x2=(x−2)(x+2)x2f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{x^2-4}{x^2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}.
Signe. f′>0f'>0 sur ]−∞,−2[]-\infty,-2[ et ]2,+∞[]2,+\infty[, f′<0f'<0 sur ]−2,0[]-2,0[ et ]0,2[]0,2[.
Variations. Sur ]0,+∞[]0,+\infty[ : ff décroît sur ]0,2]]0,2], croît sur [2,+∞[[2,+\infty[, avec un minimum f(2)=4f(2)=4. Sur ]−∞,0[]-\infty,0[ : maximum f(−2)=−4f(-2)=-4.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Soit f(x)=3x+12x−1f(x)=\dfrac{3x+1}{2x-1}. Calculer f′f' et l'équation de la tangente en x=1x=1.
Voir la correction
f′(x)=3(2x−1)−2(3x+1)(2x−1)2=−5(2x−1)2f'(x)=\dfrac{3(2x-1)-2(3x+1)}{(2x-1)^2}=\dfrac{-5}{(2x-1)^2}. f(1)=4f(1)=4, f′(1)=−5f'(1)=-5. Tangente : y=−5(x−1)+4=−5x+9y=-5(x-1)+4=-5x+9.

Exercice 2

Moyen
Étudier la convexité de f(x)=x4−4x3f(x)=x^4-4x^3 et déterminer ses points d'inflexion.
Voir la correction
f′(x)=4x3−12x2f'(x)=4x^3-12x^2, f′′(x)=12x2−24x=12x(x−2)f''(x)=12x^2-24x=12x(x-2). f′′>0f''>0 sur ]−∞,0[∪]2,+∞[]-\infty,0[\cup]2,+\infty[ (convexe), f′′<0f''<0 sur ]0,2[]0,2[ (concave). Points d'inflexion en x=0x=0 (f(0)=0f(0)=0) et x=2x=2 (f(2)=16−32=−16f(2)=16-32=-16).

Exercice 3

Difficile
Soit f(x)=x3+4xf(x)=x^3+4x. Montrer que ff réalise une bijection de R\mathbb{R} sur R\mathbb{R} et calculer (f−1)′(5)(f^{-1})'(5).
Voir la correction
f′(x)=3x2+4>0f'(x)=3x^2+4>0 : ff est continue et strictement croissante, avec limites ±∞\pm\infty, donc bijection de R\mathbb{R} sur R\mathbb{R}. f(1)=5f(1)=5, donc f−1(5)=1f^{-1}(5)=1 et (f−1)′(5)=1f′(1)=17(f^{-1})'(5)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{7}.

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Questions fréquentes

Comment trouver l'équation d'une tangente ?

y = f′(a)(x − a) + f(a). Tangente horizontale : f′(a) = 0.

À quoi sert l'étude de la convexité ?

À préciser l'allure de la courbe et localiser les points d'inflexion, et à démontrer des inégalités.

La dérivée d'une réciproque est-elle au programme STM ?

Oui : (f⁻¹)′(y) = 1/f′(x) avec x = f⁻¹(y), pour f bijection dérivable de dérivée non nulle.

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