Mouvements plans — Cours Physique Bac PC

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7, à égalité avec les Mathématiques. Ce chapitre généralise la chute libre au cas d'une vitesse initiale non verticale et introduit la base de Frenet (accélération tangentielle et normale), réutilisée telle quelle pour les satellites et la rotation d'un solide.

À l'épreuve

L'exercice donne des conditions de lancement (vitesse initiale, angle, hauteur) et demande les équations horaires, l'équation de la trajectoire, la portée et/ou la flèche du tir ; ou bien porte sur un mouvement circulaire (accélération centripète, vitesse angulaire).

Objectifs d'apprentissage

Établir les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$ d'un mouvement de projectile
Établir l'équation de la trajectoire par élimination du temps
Calculer la portée et la flèche d'un tir
Décomposer l'accélération dans la base de Frenet (composantes tangentielle et normale)
Reconnaître un mouvement circulaire uniforme à partir de l'accélération normale $v^2/R$

Notions clés

Équations horaires du mouvement parabolique

Seul le poids agit (frottements négligés) :

\vec a=(0,-g)

. Avec une vitesse initiale

v_0

à l'angle

\alpha

depuis un point

(0,h_0)

v_x(t)=v_0\cos\alpha

(constante),

v_y(t)=v_0\sin\alpha-g\,t

, d'où

x(t)=v_0\cos\alpha\,t

y(t)=h_0+v_0\sin\alpha\,t-\dfrac{1}{2}g\,t^2

Équation de la trajectoire

En éliminant

t=\dfrac{x}{v_0\cos\alpha}

y(x)=h_0+x\tan\alpha-\dfrac{g\,x^2}{2\,v_0^2\cos^2\alpha}

— une parabole.

Portée et flèche (h₀ = 0)

Portée (distance horizontale au retour à

y=0

) :

x_{max}=\dfrac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}

, maximale pour

\alpha=45°

. Flèche (hauteur maximale) :

y_{max}=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}

Erreurs fréquentes

Traiter le mouvement horizontal et vertical comme couplés : $v_x$ reste constante (mouvement uniforme sur $x$), seule $y$ est affectée par l'accélération.

Oublier de décomposer la vitesse initiale : utiliser $v_0$ au lieu de $v_0\cos\alpha$ et $v_0\sin\alpha$.

Confondre portée (distance horizontale au sol) et flèche (hauteur maximale atteinte).

Exemple corrigé

Énoncé

Un ballon est lancé depuis le sol (

h_0=0

) avec une vitesse initiale

v_0=20\ \text{m·s}^{-1}

faisant un angle

\alpha=30°

avec l'horizontale. Calculer la portée et la flèche du tir (

g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}

Correction

Équations horaires.

x(t)=v_0\cos\alpha\,t=20\times0{,}866\,t\approx17{,}3\,t

;

y(t)=v_0\sin\alpha\,t-\dfrac{1}{2}g\,t^2=10\,t-4{,}9\,t^2

Portée.

x_{max}=\dfrac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}=\dfrac{400\times\sin 60°}{9{,}8}\approx\dfrac{346{,}4}{9{,}8}\approx35{,}3\ \text{m}

Flèche.

y_{max}=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}=\dfrac{400\times0{,}25}{19{,}6}\approx5{,}1\ \text{m}

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un objet est lancé horizontalement (

\alpha=0

) depuis une hauteur

h_0=10\ \text{m}

avec

v_0=5{,}0\ \text{m·s}^{-1}

. Calculer le temps de chute et la distance horizontale parcourue.

Voir la correction

y(t)=h_0-\dfrac{1}{2}g\,t^2=0\Rightarrow t=\sqrt{\dfrac{2h_0}{g}}=\sqrt{\dfrac{20}{9{,}8}}\approx1{,}4\ \text{s}

x=v_0\,t\approx5{,}0\times1{,}4\approx7{,}1\ \text{m}

Exercice 2

Moyen

Calculer la vitesse initiale nécessaire pour qu'un tir à

\alpha=45°

atteigne une portée de

50\ \text{m}

Voir la correction

x_{max}=\dfrac{v_0^2\sin 90°}{g}=\dfrac{v_0^2}{g}\Rightarrow v_0=\sqrt{x_{max}\,g}=\sqrt{50\times9{,}8}=\sqrt{490}\approx22{,}1\ \text{m·s}^{-1}

Exercice 3

Difficile

Montrer qu'à vitesse initiale fixée, l'angle qui maximise la portée est

\alpha=45°

, puis calculer la portée maximale pour

v_0=15\ \text{m·s}^{-1}

Voir la correction

x_{max}(\alpha)=\dfrac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}

est maximal quand

\sin(2\alpha)=1

, soit

2\alpha=90°

, donc

\alpha=45°

(seule solution dans

[0°,90°]

). Portée maximale :

x_{max}=\dfrac{v_0^2}{g}=\dfrac{225}{9{,}8}\approx23{,}0\ \text{m}

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Questions fréquentes

Pourquoi la composante horizontale de la vitesse reste-t-elle constante ?

Parce que la seule force (le poids) est verticale : sa projection sur l'axe horizontal est nulle, donc $a_x=0$ et $v_x$ est constante — c'est un mouvement rectiligne uniforme sur l'axe horizontal, superposé à une chute libre sur l'axe vertical.

La masse du projectile influence-t-elle sa trajectoire ?

Non, tant que les frottements sont négligés : l'accélération $a=g$ ne dépend pas de la masse, donc deux projectiles lancés avec les mêmes conditions initiales suivent la même trajectoire, quelle que soit leur masse.

Comment reconnaît-on un mouvement circulaire uniforme dans la base de Frenet ?

L'accélération tangentielle est nulle ($a_t=\dfrac{dv}{dt}=0$, la vitesse ne varie pas en norme) et l'accélération normale vaut $a_n=\dfrac{v^2}{R}$, dirigée vers le centre. C'est exactement la situation d'un satellite en orbite circulaire.