Chute libre verticale d'un solide — Cours Physique Bac PC

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7, à égalité avec les Mathématiques. Deuxième chapitre du bloc mécanique (8 chapitres sur 30), la chute libre est la première application concrète de la RFD à un mouvement rectiligne, et le premier exemple d'équation différentielle du premier ordre en physique du programme — la même forme mathématique que les dipôles RC et RL déjà vus en électricité.

À l'épreuve

Deux volets classiques : la chute libre « idéale » (frottements négligés, $a=g$, équations horaires) et la chute avec frottement fluide, où il faut établir l'équation différentielle en $v(t)$, identifier la vitesse limite et la constante de temps, et éventuellement vérifier une solution proposée.

Objectifs d'apprentissage

Établir les équations horaires d'une chute libre verticale sans frottement
Établir l'équation différentielle du mouvement en présence d'un frottement fluide $f=-k v$
Déterminer la vitesse limite $v_{lim}=mg/k$ et la constante de temps $\tau=m/k$
Vérifier qu'une expression proposée est solution de l'équation différentielle
Distinguer le régime transitoire du régime asymptotique (vitesse limite)

Notions clés

Chute libre sans frottement

Seul le poids agit (frottements négligés). Sur un axe vertical descendant, la RFD donne

m\,\dfrac{dv}{dt}=mg

, soit

\dfrac{dv}{dt}=g

: l'accélération est constante et indépendante de la masse. D'où

v(t)=g\,t+v_0

z(t)=\dfrac{1}{2}g\,t^2+v_0 t+z_0

Chute avec frottement fluide

Modèle linéaire

f=-k\,v

(opposé au mouvement). RFD :

m\,\dfrac{dv}{dt}=mg-k\,v

, soit

\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{v}{\tau}=g

avec

\tau=\dfrac{m}{k}

— la même forme que l'équation d'un dipôle RC ou RL : régime transitoire puis régime asymptotique.

Vitesse limite

En régime permanent,

\dfrac{dv}{dt}=0

, donc

mg=k\,v_{lim}

, soit

v_{lim}=\dfrac{mg}{k}=g\,\tau

. Solution complète (chute à partir du repos) :

v(t)=v_{lim}\left(1-e^{-t/\tau}\right)

Erreurs fréquentes

Confondre la vitesse limite (atteinte asymptotiquement, jamais exactement en un temps fini) avec une vitesse maximale atteinte à un instant précis.

Oublier que dans le vide, $a=g$ ne dépend pas de la masse du solide — à ne pas confondre avec le poids $P=mg$, qui lui en dépend.

Se tromper de signe selon l'orientation de l'axe : si l'axe vertical est orienté vers le haut, l'accélération de pesanteur intervient avec un signe négatif ($a=-g$).

Exemple corrigé

Énoncé

Une bille est lâchée sans vitesse initiale d'une hauteur

h=20\ \text{m}

, dans le vide (frottements négligés). Calculer la durée de la chute et la vitesse d'arrivée au sol (

g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}

Correction

Loi horaire. Axe vertical descendant, origine au point de lâcher :

z(t)=\dfrac{1}{2}g\,t^2

(car

v_0=0

z_0=0

Durée de chute.

h=\dfrac{1}{2}g\,t^2\Rightarrow t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\times20}{9{,}8}}\approx2{,}0\ \text{s}

Vitesse d'arrivée.

v=g\,t\approx9{,}8\times2{,}0\approx19{,}8\ \text{m·s}^{-1}

(vérification :

v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times9{,}8\times20}\approx19{,}8\ \text{m·s}^{-1}

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un solide tombe en chute libre sans frottement d'une hauteur

h=5{,}0\ \text{m}

, dans le vide. Calculer sa vitesse à l'arrivée au sol.

Voir la correction

v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times9{,}8\times5{,}0}=\sqrt{98}\approx9{,}9\ \text{m·s}^{-1}

Exercice 2

Moyen

Une sphère de masse

m=0{,}10\ \text{kg}

tombe dans un fluide avec un frottement

f=-k v

k=0{,}50\ \text{kg·s}^{-1}

. Calculer la vitesse limite et la constante de temps.

Voir la correction

v_{lim}=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{0{,}10\times9{,}8}{0{,}50}\approx2{,}0\ \text{m·s}^{-1}

\tau=\dfrac{m}{k}=\dfrac{0{,}10}{0{,}50}=0{,}20\ \text{s}

Exercice 3

Difficile

Vérifier que

v(t)=v_{lim}\left(1-e^{-t/\tau}\right)

est solution de

\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{v}{\tau}=g

, puis calculer l'instant où

v

atteint 95 % de

v_{lim}

(avec

\tau=0{,}20\ \text{s}

Voir la correction

\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{v_{lim}}{\tau}e^{-t/\tau}

, donc

\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{v}{\tau}=\dfrac{v_{lim}}{\tau}e^{-t/\tau}+\dfrac{v_{lim}}{\tau}\left(1-e^{-t/\tau}\right)=\dfrac{v_{lim}}{\tau}=g

(puisque

v_{lim}=g\tau

) ✓. Pour

v=0{,}95\,v_{lim}

1-e^{-t/\tau}=0{,}95\Rightarrow t=\tau\ln 20\approx0{,}20\times3{,}0\approx0{,}60\ \text{s}

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Questions fréquentes

Pourquoi la vitesse limite ne dépend-elle pas de la hauteur de chute ?

La vitesse limite $v_{lim}=mg/k$ résulte de l'équilibre entre le poids et le frottement ; elle ne dépend que de la masse, de $g$ et du coefficient de frottement $k$, pas de la distance parcourue. Un objet lâché de très haut finit toujours par atteindre la même $v_{lim}$.

Le modèle f = −kv est-il valable pour toute vitesse ?

Non : c'est un modèle linéaire valable pour de faibles vitesses (écoulement laminaire). À plus grande vitesse, le frottement devient proportionnel à $v^2$ (modèle quadratique) ; le programme se limite au cas linéaire, qui suffit à introduire la notion de vitesse limite et de régime transitoire.

Quelle est la différence entre chute libre « au sens strict » et chute réelle dans l'air ?

Au sens strict, la chute libre ne subit que le poids (dans le vide, $a=g$). Dans l'air, les frottements ne sont négligeables que pour des corps denses et compacts sur de courtes distances ; sinon, il faut utiliser le modèle avec frottement et sa vitesse limite.