Mouvement des satellites et des planètes — Cours Physique Bac PC

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7, à égalité avec les Mathématiques. Ce chapitre applique la RFD et la base de Frenet du chapitre « Mouvements plans » au cas particulier, très fréquent à l'examen, de la gravitation universelle — satellites terrestres et planètes du système solaire.

À l'épreuve

À partir de l'altitude d'un satellite ou du rayon d'une orbite, établir la vitesse et la période à partir de la RFD, puis exploiter la troisième loi de Kepler pour comparer deux orbites ou déterminer l'altitude d'un satellite géostationnaire.

Objectifs d'apprentissage

Exprimer la force de gravitation universelle $F=G\dfrac{Mm}{r^2}$
Justifier, dans le référentiel géocentrique ou héliocentrique, le mouvement circulaire uniforme d'un satellite ou d'une planète
Établir la vitesse orbitale $v=\sqrt{GM/r}$ et la période $T=2\pi\sqrt{r^3/GM}$
Énoncer et exploiter la troisième loi de Kepler $T^2/r^3=\text{constante}$
Caractériser une orbite géostationnaire

Notions clés

Force de gravitation universelle

F=G\dfrac{Mm}{r^2}

, dirigée vers le centre attracteur (

G=6{,}674\times10^{-11}\ \text{N·m}^2\text{·kg}^{-2}

). RFD appliquée en référentiel géocentrique (satellites terrestres) ou héliocentrique/de Copernic (planètes), supposés galiléens.

Mouvement circulaire uniforme

Dans la base de Frenet, seule la gravitation agit : composante tangentielle nulle (

a_t=0

, donc

v

constante), composante normale

a_n=v^2/r

. RFD :

G\dfrac{Mm}{r^2}=\dfrac{mv^2}{r}

, soit

v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}

— indépendante de la masse du satellite.

Troisième loi de Kepler

Période

T=\dfrac{2\pi r}{v}=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}

, soit

\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}

, une constante pour un même astre central (le Soleil pour les planètes, la Terre pour ses satellites).

Erreurs fréquentes

Confondre la masse du satellite (n'intervient ni dans $v$ ni dans $T$) avec la masse $M$ de l'astre central (qui, elle, intervient).

Croire qu'une orbite géostationnaire existe à toute altitude : elle est unique (rayon fixé par $T=86164\ \text{s}$, plan équatorial).

Oublier de justifier le caractère galiléen du référentiel choisi (géocentrique, pas terrestre, pour un satellite).

Exemple corrigé

Énoncé

Un satellite décrit une orbite circulaire à l'altitude

h=700\ \text{km}

. Calculer sa vitesse et sa période de révolution. Données :

R_T=6380\ \text{km}

GM_T=3{,}99\times10^{14}\ \text{m}^3\text{·s}^{-2}

Correction

Rayon de l'orbite.

r=R_T+h=6380+700=7080\ \text{km}=7{,}08\times10^{6}\ \text{m}

Vitesse.

v=\sqrt{\dfrac{GM_T}{r}}=\sqrt{\dfrac{3{,}99\times10^{14}}{7{,}08\times10^{6}}}\approx7{,}51\times10^{3}\ \text{m·s}^{-1}

Période.

T=\dfrac{2\pi r}{v}\approx\dfrac{2\pi\times7{,}08\times10^{6}}{7{,}51\times10^{3}}\approx5{,}93\times10^{3}\ \text{s}\approx98{,}8\ \text{min}\approx1\ \text{h}\,39\ \text{min}

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Exercice 1

Facile

Calculer

GM_T

sachant

G=6{,}674\times10^{-11}\ \text{N·m}^2\text{·kg}^{-2}

M_T=5{,}98\times10^{24}\ \text{kg}

Voir la correction

GM_T=6{,}674\times10^{-11}\times5{,}98\times10^{24}\approx3{,}99\times10^{14}\ \text{m}^3\text{·s}^{-2}

Exercice 2

Moyen

Un satellite géostationnaire a une période

T=86164\ \text{s}

(jour sidéral). Calculer le rayon de son orbite (

GM_T=3{,}99\times10^{14}\ \text{m}^3\text{·s}^{-2}

Voir la correction

r=\sqrt[3]{\dfrac{GM_T\,T^2}{4\pi^2}}=\sqrt[3]{\dfrac{3{,}99\times10^{14}\times(86164)^2}{4\pi^2}}\approx4{,}22\times10^{7}\ \text{m}\approx42\,200\ \text{km}

(soit une altitude d'environ

35\,800\ \text{km}

Exercice 3

Difficile

Démontrer la troisième loi de Kepler à partir de la RFD, puis l'utiliser pour comparer deux satellites d'altitudes

r_1

r_2=4r_1

Voir la correction

v=\sqrt{GM/r}

T=\dfrac{2\pi r}{v}=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}

, donc

T^2=\dfrac{4\pi^2}{GM}r^3

, soit

T^2/r^3=\text{constante}

. Si

r_2=4r_1

\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^2=\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)^3=4^3=64

, donc

T_2=8\,T_1

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Questions fréquentes

Pourquoi la masse du satellite n'intervient-elle pas dans sa vitesse ou sa période ?

Elle se simplifie dans la RFD : $G\dfrac{Mm}{r^2}=\dfrac{mv^2}{r}$, le $m$ du satellite apparaît des deux côtés et disparaît. Seule la masse $M$ de l'astre central compte, comme pour la chute libre où $a=g$ ne dépend pas de la masse du solide.

Le référentiel géocentrique est-il vraiment galiléen ?

En toute rigueur, non — il est en translation (quasi) circulaire autour du Soleil. Mais pour l'étude d'un satellite terrestre sur quelques révolutions, cette rotation est négligeable et on le considère galiléen ; pour l'étude des planètes, on utilise alors le référentiel héliocentrique.

Qu'est-ce qui rend une orbite géostationnaire unique ?

Elle doit avoir la période de rotation propre de la Terre ($T=86164\ \text{s}$), être dans le plan équatorial et circulaire, sinon le satellite ne resterait pas au-dessus du même point du sol. Ces trois conditions fixent un rayon unique.