Atome et mécanique de Newton — Cours Physique Bac PC

Q: Pourquoi peut-on négliger la gravitation entre l'électron et le proton ?

La force gravitationnelle entre l'électron et le proton est de plusieurs dizaines d'ordres de grandeur plus faible que la force électrostatique à cette distance : elle est totalement négligeable dans l'étude du mouvement de l'électron.

Q: Que signifie une énergie mécanique négative pour l'électron ?

Cela signifie que l'électron est dans un état lié : il faut lui fournir de l'énergie (au moins $|E_m|$, l'énergie d'ionisation) pour l'arracher du noyau et l'amener à une énergie mécanique nulle, à distance infinie.

Q: Pourquoi ce modèle classique de l'atome est-il finalement insuffisant ?

Parce qu'il prédit un rayonnement continu de l'électron accéléré, donc une perte d'énergie et un effondrement de l'atome en un temps très court — en contradiction totale avec la stabilité observée. Cette limite historique a motivé les postulats de Bohr, puis la mécanique quantique.

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7, à égalité avec les Mathématiques. Dernier chapitre du bloc mécanique (8 chapitres sur 30), il referme la boucle ouverte par les satellites en appliquant la même méthode — RFD, mouvement circulaire, force en $1/r^2$ — à l'échelle atomique, avant d'en montrer la limite.

À l'épreuve

L'exercice reprend la méthode du satellite mais avec la force électrostatique de Coulomb entre l'électron et le noyau : RFD en mouvement circulaire uniforme, expression de la vitesse et de l'énergie mécanique de l'électron en fonction du rayon de l'orbite, puis discussion qualitative des limites de la mécanique classique.

Objectifs d'apprentissage

Appliquer la RFD à l'électron en orbite circulaire, soumis à la force électrostatique de Coulomb
Établir la vitesse de l'électron en fonction du rayon de son orbite
Exprimer l'énergie mécanique de l'électron sur une orbite circulaire et discuter son signe
Identifier les limites de la mécanique classique à l'échelle atomique (instabilité radiative)

Notions clés

Force électrostatique de Coulomb

Entre l'électron (charge

-e

) et le proton (charge

+e

) :

F=k\dfrac{e^2}{r^2}

, attractive, dirigée vers le noyau (

k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx8{,}99\times10^{9}\ \text{N·m}^2\text{·C}^{-2}

e=1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}

). Même forme en

1/r^2

que la gravitation, mais d'origine électrique et incomparablement plus intense à cette échelle.

RFD appliquée à l'électron

Mouvement circulaire uniforme, comme pour un satellite :

k\dfrac{e^2}{r^2}=\dfrac{m_ev^2}{r}\Rightarrow v=e\sqrt{\dfrac{k}{m_er}}

. Énergie cinétique

E_c=\dfrac{1}{2}m_ev^2=k\dfrac{e^2}{2r}

, énergie potentielle électrostatique

E_p=-k\dfrac{e^2}{r}

, énergie mécanique totale

E_m=E_c+E_p=-k\dfrac{e^2}{2r}<0

(état lié).

Limite de la mécanique classique

Une charge accélérée rayonne de l'énergie électromagnétique (résultat de l'électromagnétisme classique). L'électron en orbite, constamment accéléré, perdrait ainsi de l'énergie et s'écraserait sur le noyau en un temps extrêmement court — en contradiction avec la stabilité observée de l'atome. Cette contradiction impose une théorie non classique : la mécanique quantique.

Erreurs fréquentes

Utiliser la force de gravitation entre l'électron et le noyau : à cette échelle, elle est totalement négligeable devant la force électrostatique.

Oublier le signe négatif de l'énergie mécanique : $E_m<0$ signifie que l'électron est lié au noyau (il faut fournir de l'énergie pour l'en séparer).

Croire que le modèle classique de l'électron en orbite circulaire est validé par l'expérience : il prédit au contraire une instabilité radiative que l'expérience contredit — c'est précisément sa limite.

Exemple corrigé

Énoncé

Dans le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, l'électron (

m_e=9{,}1\times10^{-31}\ \text{kg}

) décrit une orbite circulaire de rayon

r=5{,}3\times10^{-11}\ \text{m}

(rayon de Bohr) autour du proton. Calculer sa vitesse et son énergie mécanique (

k=8{,}99\times10^{9}\ \text{N·m}^2\text{·C}^{-2}

e=1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}

Correction

RFD. La force de Coulomb joue le rôle de force centripète :

k\dfrac{e^2}{r^2}=\dfrac{m_ev^2}{r}\Rightarrow v=e\sqrt{\dfrac{k}{m_er}}

Vitesse.

v=1{,}6\times10^{-19}\sqrt{\dfrac{8{,}99\times10^{9}}{9{,}1\times10^{-31}\times5{,}3\times10^{-11}}}\approx2{,}18\times10^{6}\ \text{m·s}^{-1}

Énergie mécanique.

E_m=-k\dfrac{e^2}{2r}\approx-2{,}17\times10^{-18}\ \text{J}\approx-13{,}6\ \text{eV}

(avec

1\ \text{eV}=1{,}6\times10^{-19}\ \text{J}

) — la valeur bien connue de l'énergie de l'état fondamental de l'hydrogène.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Calculer la force de Coulomb entre l'électron et le proton à la distance

r=5{,}3\times10^{-11}\ \text{m}

Voir la correction

F=k\dfrac{e^2}{r^2}=\dfrac{8{,}99\times10^{9}\times(1{,}6\times10^{-19})^2}{(5{,}3\times10^{-11})^2}\approx8{,}2\times10^{-8}\ \text{N}

Exercice 2

Moyen

Sachant que

E_c=k\dfrac{e^2}{2r}

E_p=-k\dfrac{e^2}{r}

, montrer que

E_c=-E_m

(relation du viriel).

Voir la correction

E_p=-2E_c

(par comparaison directe des expressions), donc

E_m=E_c+E_p=E_c-2E_c=-E_c

, soit

E_c=-E_m

(et

E_p=2E_m

Exercice 3

Difficile

L'électron en orbite, classiquement, rayonne de l'énergie et perd progressivement de l'altitude. Expliquer pourquoi ce modèle prédit l'effondrement de l'atome, et pourquoi ce n'est pas observé.

Voir la correction

Comme

E_m=-k\dfrac{e^2}{2r}

, une perte d'énergie (

E_m

devient plus négative) correspond à une diminution de

r

: l'électron rayonnant en continu, il spirale vers le noyau en un temps extrêmement court (de l'ordre de

10^{-11}\ \text{s}

dans ce modèle). Comme les atomes sont stables, ce résultat classique est faux : la mécanique classique est inadaptée à cette échelle, et seule la mécanique quantique (quantification des niveaux d'énergie, absence de rayonnement sur une orbite stationnaire) rend compte de la stabilité réelle de l'atome.

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Pourquoi peut-on négliger la gravitation entre l'électron et le proton ?

La force gravitationnelle entre l'électron et le proton est de plusieurs dizaines d'ordres de grandeur plus faible que la force électrostatique à cette distance : elle est totalement négligeable dans l'étude du mouvement de l'électron.

Que signifie une énergie mécanique négative pour l'électron ?

Cela signifie que l'électron est dans un état lié : il faut lui fournir de l'énergie (au moins $|E_m|$, l'énergie d'ionisation) pour l'arracher du noyau et l'amener à une énergie mécanique nulle, à distance infinie.

Pourquoi ce modèle classique de l'atome est-il finalement insuffisant ?

Parce qu'il prédit un rayonnement continu de l'électron accéléré, donc une perte d'énergie et un effondrement de l'atome en un temps très court — en contradiction totale avec la stabilité observée. Cette limite historique a motivé les postulats de Bohr, puis la mécanique quantique.