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Physique-Chimie · Bac Agro · Coefficient 5

Décroissance radioactive — Cours Physique Bac Agro

Désintégration spontanée et aléatoire : loi N(t) = N₀·e^(−λt), constante radioactive λ, demi-vie t₁/₂ = ln2/λ, activité a = λ·N (Bq), lois de conservation de Soddy et datation.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Agro

Coefficient 5 en Bac Sciences Agronomiques. Application physique de la fonction exponentielle et du logarithme (Mathématiques coefficient 7). Ancrage agronomique : datation des sols et des sédiments, principe des traceurs radioactifs pour l'étude de la nutrition minérale des plantes.

À l'épreuve

Établir N(t) = N₀·e^(−λt) à partir de dN/dt = −λN, relier λ et t₁/₂, calculer une activité a = λ·N, exploiter a/a₀ = (1/2)^(t/t₁/₂) pour une datation, et équilibrer une équation de désintégration par les lois de Soddy.

Objectifs d'apprentissage

  • Résoudre dN/dt = −λN et retrouver N(t) = N₀·e^(−λt)
  • Relier constante radioactive et demi-vie : t₁/₂ = ln2/λ
  • Définir l'activité a = λ·N et donner son unité (becquerel)
  • Équilibrer une équation de désintégration α, β⁻, β⁺ avec les lois de Soddy
  • Exploiter la décroissance pour dater un échantillon

Notions clés

Loi de décroissance

dNdt=−λN\dfrac{dN}{dt}=-\lambda N, d'où N(t)=N0 e−λtN(t)=N_0\,e^{-\lambda t}, λ\lambda (s⁻¹) constante radioactive du noyau.

Demi-vie et activité

N(t1/2)=N02⇒t1/2=ln⁡2λN(t_{1/2})=\dfrac{N_0}{2}\Rightarrow t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}. Activité : a=−dNdt=λN=a0 e−λta=-\dfrac{dN}{dt}=\lambda N=a_0\,e^{-\lambda t}, en becquerels (1 Bq = 1 désintégration/s). t1/2t_{1/2} est constante pour un noyau donné.

Lois de Soddy

Dans toute désintégration, AA et ZZ se conservent. α\alpha : 24He^{4}_{2}\text{He}. β−\beta^{-} : −10e^{0}_{-1}e (n→pn\to p). β+\beta^{+} : +10e^{0}_{+1}e (p→np\to n). Le noyau fils excité se désexcite en γ\gamma.

Erreurs fréquentes

1

Confondre la constante radioactive λ (s⁻¹) avec une longueur d'onde.

2

Croire que la demi-vie dépend des conditions physico-chimiques : elle est constante.

3

Confondre l'activité (en Bq, un débit) et le nombre de noyaux N (sans unité).

Exemple corrigé

Énoncé

Un échantillon contient à t=0t=0 N0=5,0×1018N_0=5{,}0\times10^{18} noyaux radioactifs, de demi-vie t1/2=6,0 ht_{1/2}=6{,}0\ \text{h}. Calculer λ\lambda, l'activité initiale a0a_0, puis le nombre de noyaux restants après 18 h18\ \text{h}.

Correction

Constante radioactive. λ=ln⁡2t1/2=0,6936,0×3600=0,6932,16×104≈3,2×10−5 s−1\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0{,}693}{6{,}0\times3600}=\dfrac{0{,}693}{2{,}16\times10^{4}}\approx 3{,}2\times10^{-5}\ \text{s}^{-1}.
Activité initiale. a0=λN0=3,2×10−5×5,0×1018=1,6×1014 Bqa_0=\lambda N_0=3{,}2\times10^{-5}\times5{,}0\times10^{18}=1{,}6\times10^{14}\ \text{Bq}.
Après 18 h. 18 h=3 t1/218\ \text{h}=3\,t_{1/2}, donc N=N023=5,0×10188=6,25×1017 noyauxN=\dfrac{N_0}{2^{3}}=\dfrac{5{,}0\times10^{18}}{8}=6{,}25\times10^{17}\ \text{noyaux}.

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Exercice 1

Facile
Un noyau a une demi-vie t1/2=4,0 jourst_{1/2}=4{,}0\ \text{jours}. Quelle fraction de l'échantillon initial subsiste après 12 jours12\ \text{jours} ?
Voir la correction
12 jours=3 t1/212\ \text{jours}=3\,t_{1/2}, donc NN0=(12)3=18=12,5 %\dfrac{N}{N_0}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=\dfrac{1}{8}=12{,}5\ \%.

Exercice 2

Moyen
L'activité d'un échantillon est tombée à 6,25 %6{,}25\ \% de sa valeur initiale. Combien de demi-vies se sont écoulées ?
Voir la correction
6,25 %=116=(12)46{,}25\ \% = \dfrac{1}{16}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4} : 4 demi-vies.

Exercice 3

Difficile
Le polonium 84210Po^{210}_{84}\text{Po} se désintègre par émission α\alpha. Écrire l'équation et identifier le noyau fils X\text{X}.
Voir la correction
84210Po⟶ 24He+ ZAX^{210}_{84}\text{Po}\longrightarrow\ ^{4}_{2}\text{He}+\ ^{A}_{Z}\text{X}. Conservation : A=210−4=206A=210-4=206 et Z=84−2=82Z=84-2=82. Le noyau fils est le plomb 82206Pb^{206}_{82}\text{Pb}.

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Questions fréquentes

La demi-vie dépend-elle de la température ou de la pression ?

Non. La désintégration est un phénomène nucléaire : la demi-vie d'un noyau donné est une constante, insensible à la température, à la pression ou à l'état chimique de l'atome.

Quelle relation entre λ et la demi-vie ?

t₁/₂ = ln2 / λ. Une grande constante radioactive correspond à une désintégration rapide, donc à une demi-vie courte : les deux grandeurs sont inversement proportionnelles.

Qu'est-ce que l'activité et son unité ?

L'activité a = λ·N est le nombre de désintégrations par seconde d'un échantillon, exprimée en becquerels (1 Bq = 1 désintégration/s). Elle décroît selon la même loi exponentielle que N.

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