Les systèmes asservis — Cours SI Bac STM

ضمن برنامج بكالوريا STM

Coefficient 8 en Bac STM, la matière la plus lourde de la filière, devant les Mathématiques (7) et la Physique-Chimie (5). Le cadre de référence 2025 de SI STM consacre une unité entière à la production (concevoir, réaliser, gérer et valider) : ces compétences reviennent dans la partie « production » de chaque sujet national.

في الامتحان

Compléter ou interpréter un schéma-bloc (consigne, comparateur, correcteur, chaîne directe, capteur), calculer une fonction de transfert en boucle fermée, exploiter une réponse indicielle pour déterminer le gain, la constante de temps, le temps de réponse à 5 % et l'erreur statique.

أهداف التعلم

Distinguer un système en boucle ouverte d'un système asservi en boucle fermée
Identifier les éléments d'un schéma-bloc : consigne, comparateur, écart, correcteur, actionneur, capteur
Calculer la fonction de transfert en boucle fermée FTBF = G/(1 + G·H)
Caractériser un système du premier ordre (gain K, constante de temps τ, temps de réponse 3τ)
Évaluer la précision (erreur statique), la rapidité et la stabilité d'un asservissement

المفاهيم الأساسية

Boucle ouverte, boucle fermée

En boucle ouverte, la commande est appliquée sans contrôle du résultat : une perturbation (charge, frottement) fait dériver la sortie. En boucle fermée, un capteur mesure la sortie, un comparateur calcule l'écart entre la consigne et la mesure, et un correcteur élabore la commande qui réduit cet écart. Le système corrige ainsi de lui-même les perturbations : il est asservi.

Schéma-bloc et fonction de transfert

Chaque élément est modélisé par une fonction de transfert (rapport sortie/entrée dans le domaine de Laplace, variable

p

). Des blocs en série se multiplient. Pour une boucle de chaîne directe

G(p)

et de chaîne de retour

H(p)

FTBF(p) = \dfrac{G(p)}{1 + G(p)H(p)}

. Avec un retour unitaire (

H = 1

) :

FTBF = \dfrac{G}{1+G}

Le système du premier ordre

Sa fonction de transfert est

G(p) = \dfrac{K}{1 + \tau p}

K

est le gain statique,

\tau

la constante de temps. Soumis à un échelon

E_0

, il atteint

63\,\%

de sa valeur finale

K E_0

t = \tau

95\,\%

t = 3\tau

: c'est le temps de réponse à 5 %. Bouclé avec un retour unitaire, il reste du premier ordre, de gain

\dfrac{K}{1+K}

et de constante de temps

\dfrac{\tau}{1+K}

Précision, rapidité, stabilité

La précision se mesure par l'erreur statique (écart entre consigne et sortie en régime permanent) ; pour un premier ordre en boucle fermée à retour unitaire et un échelon, elle vaut

\dfrac{1}{1+K}

de la consigne. La rapidité se mesure par le temps de réponse à 5 %. La stabilité est l'aptitude à revenir à un état d'équilibre sans oscillations divergentes. Augmenter le gain améliore précision et rapidité, mais peut dégrader la stabilité des systèmes d'ordre supérieur : c'est le dilemme de l'asservissement.

الأخطاء الشائعة

Confondre consigne (valeur désirée) et sortie (valeur obtenue), ou écart et erreur statique.

Écrire FTBF = G/(1 − GH) : avec un comparateur classique (+ consigne, − mesure), le signe est +.

Lire le temps de réponse à 63 % au lieu de 95 % de la valeur finale.

Croire qu'augmenter le gain est toujours bénéfique : au-delà d'un seuil, certains systèmes deviennent instables.

مثال محلول

نص السؤال

Un moteur et sa charge sont modélisés par

G(p) = \dfrac{9}{1 + 0{,}5p}

. On l'asservit en vitesse avec un retour unitaire. Calculer la FTBF, le temps de réponse à 5 % en boucle ouverte et en boucle fermée, et l'erreur statique pour une consigne échelon.

التصحيح

FTBF.

FTBF = \dfrac{G}{1+G} = \dfrac{9}{1 + 0{,}5p + 9} = \dfrac{0{,}9}{1 + 0{,}05p}

: gain

0{,}9

, constante de temps

0{,}05\ \text{s}

Rapidité. Boucle ouverte :

t_{5\%} = 3 \times 0{,}5 = 1{,}5\ \text{s}

. Boucle fermée :

t_{5\%} = 3 \times 0{,}05 = 0{,}15\ \text{s}

, dix fois plus rapide.

Précision. En régime permanent, la sortie vaut

0{,}9

fois la consigne : erreur statique

= 1 - 0{,}9 = 10\,\%

\left(= \dfrac{1}{1+9}\right)

Conclusion. Le bouclage accélère fortement le système et corrige les perturbations ; pour annuler l'erreur statique, il faudrait un correcteur intégral.

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3 تمارين للتدرب

التمرين 1

Facile

Citer les éléments d'une boucle d'asservissement et le rôle du capteur.

عرض التصحيح

Consigne, comparateur, correcteur, actionneur (chaîne directe), système, capteur (chaîne de retour). Le capteur mesure la grandeur de sortie et la convertit en un signal comparable à la consigne, ce qui permet de calculer l'écart.

التمرين 2

Moyen

Un système du premier ordre soumis à un échelon de 10 V atteint en régime permanent 20 V, et 12,6 V au bout de 0,4 s. Déterminer K et τ, puis le temps de réponse à 5 %.

عرض التصحيح

K = \dfrac{20}{10} = 2

12{,}6\ \text{V}

représente

63\,\%

20\ \text{V}

: donc

\tau = 0{,}4\ \text{s}

t_{5\%} = 3\tau = 1{,}2\ \text{s}

التمرين 3

Difficile

Pour

G(p) = \dfrac{K}{1 + 2p}

bouclé avec retour unitaire, quelle valeur de K donne une erreur statique de 5 % ? Quel est alors le temps de réponse à 5 % ?

عرض التصحيح

Erreur statique

= \dfrac{1}{1+K} = 0{,}05 \Rightarrow K = 19

. Constante de temps en boucle fermée :

\dfrac{2}{1+19} = 0{,}1\ \text{s}

, d'où

t_{5\%} = 0{,}3\ \text{s}

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الأسئلة الشائعة

Pourquoi asservir plutôt que commander en boucle ouverte ?

Parce que la boucle fermée corrige automatiquement les perturbations et les dérives du système (usure, charge variable) et permet d'améliorer précision et rapidité, alors que la boucle ouverte ne voit pas le résultat obtenu.

Qu'est-ce que la variable p ?

C'est la variable de Laplace. Elle permet de remplacer les équations différentielles du système par des fonctions de transfert qui se multiplient en série : on manipule des fractions au lieu de résoudre des équations différentielles.

Comment annuler l'erreur statique ?

Avec un correcteur intégral (I ou PI) : il intègre l'écart tant qu'il n'est pas nul, ce qui pousse la sortie jusqu'à la consigne en régime permanent.