Décroissance Radioactive — Cours, Formules, Exercices (Bac STE)

Objectifs d'apprentissage

Écrire l'équation d'une désintégration radioactive en appliquant les lois de conservation de Soddy
Distinguer les désintégrations α, β⁻ et β⁺ et identifier la particule émise dans chaque cas
Exploiter la loi de décroissance radioactive N(t) = N₀e^(−λt)
Définir et calculer la demi-vie t½ = ln(2)/λ d'un radionucléide
Calculer l'activité A(t) = λN(t) d'un échantillon radioactif, en becquerels
Exploiter une courbe de décroissance N(t) pour déterminer graphiquement λ ou t½

Formules et résultats clés

La radioactivité et les lois de Soddy

Un noyau instable (radionucléide) se désintègre spontanément et aléatoirement en émettant une particule et, souvent, un rayonnement γ. Toute équation de désintégration doit respecter les deux lois de conservation de Soddy : conservation du nombre de nucléons A et conservation du numéro atomique (charge) Z.

Les trois types de désintégration

Désintégration α

Émission d'un noyau d'hélium (A diminue de 4, Z diminue de 2).

$^{A}_{Z}\text{X} \rightarrow \ ^{A-4}_{Z-2}\text{Y} + \ ^{4}_{2}\text{He}$

Désintégration β⁻

Émission d'un électron (A inchangé, Z augmente de 1) — un neutron devient un proton.

$^{A}_{Z}\text{X} \rightarrow \ ^{A}_{Z+1}\text{Y} + \ ^{0}_{-1}e$

Désintégration β⁺

Émission d'un positon (A inchangé, Z diminue de 1) — un proton devient un neutron.

$^{A}_{Z}\text{X} \rightarrow \ ^{A}_{Z-1}\text{Y} + \ ^{0}_{1}e$

Loi de décroissance radioactive

$N(t) = N_0\, e^{-\lambda t}$ — $N_0$ nombre de noyaux à $t=0$ , $\lambda$ constante radioactive ( $\text{s}^{-1}$ )

Activité et demi-vie

$A(t) = \lambda N(t) = A_0 e^{-\lambda t}\ (\text{Bq}) \qquad t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$

L'activité A(t), en becquerels (Bq = désintégrations par seconde), mesure le nombre de désintégrations par unité de temps. La demi-vie t½ est le temps au bout duquel la moitié des noyaux initiaux ont disparu : après n demi-vies, il reste N₀/2ⁿ noyaux.

Application : la jauge nucléaire industrielle

En contrôle de production, une source radioactive placée d'un côté d'une tôle ou d'une cuve, et un détecteur de l'autre côté, mesurent en continu l'atténuation du rayonnement traversant le matériau. Cette atténuation dépend directement de l'épaisseur ou du niveau à mesurer — une méthode sans contact utilisée à côté des capteurs électroniques classiques dans certaines chaînes automatisées.

Compléments du programme

Composition du noyau, isotopes et diagramme (N,Z)

Un noyau

{}^{A}_{Z}X

contient

Z

protons et

N = A - Z

neutrons ;

A

est le nombre de nucléons. Des isotopes ont le même

Z

(même élément) mais des nombres de neutrons différents :

{}^{12}_{6}C

{}^{14}_{6}C

, ou

{}^{235}_{92}U

{}^{238}_{92}U

. Le diagramme (N,Z) (diagramme de Segrè) place chaque noyau selon son nombre de protons et de neutrons : les noyaux stables forment la vallée de stabilité, proche de la droite

N = Z

pour

Z < 20

, puis au-dessus (

N > Z

) pour les noyaux plus lourds. Un noyau situé au-dessus de la vallée (excès de neutrons) est en général émetteur

\beta^-

, un noyau situé en dessous émetteur

\beta^+

, et les noyaux très lourds (

A > 200

) sont souvent émetteurs

\alpha

La datation par radioactivité

La loi de décroissance

N(t) = N_0 e^{-\lambda t}

permet de dater un échantillon : connaissant le nombre initial (ou l'activité initiale

a_0

) et la valeur mesurée aujourd'hui,

t = \dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{N_0}{N} = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\dfrac{a_0}{a}

. Le carbone 14 (

t_{1/2} = 5\,730

ans) date les restes d'êtres vivants jusqu'à environ 50 000 ans : à la mort, l'organisme cesse d'échanger du carbone et son

{}^{14}C

décroît. Les couples uranium–plomb ou potassium–argon datent les roches. Exemple : un os dont l'activité en carbone 14 vaut le quart de celle d'un organisme vivant a

t = 2\,t_{1/2} \approx 11\,460

ans.

Les radioactivités alpha, bêta et gamma

Toute désintégration conserve le nombre de charge

Z

et le nombre de nucléons

A

(lois de Soddy). Radioactivité alpha (α) : émission d'un noyau d'hélium,

{}^{A}_{Z}X \to {}^{A-4}_{Z-2}Y + {}^{4}_{2}He

. Radioactivité bêta moins (β⁻) : un neutron se transforme en proton avec émission d'un électron,

{}^{A}_{Z}X \to {}^{A}_{Z+1}Y + {}^{0}_{-1}e

. Radioactivité bêta plus (β⁺) : un proton se transforme en neutron avec émission d'un positon,

{}^{A}_{Z}X \to {}^{A}_{Z-1}Y + {}^{0}_{1}e

. Émission gamma (γ) : le noyau fils, souvent formé dans un état excité

Y^*

, se désexcite en émettant un photon,

Y^* \to Y + \gamma

, sans changer ni

Z

A

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier les deux lois de conservation (nombre de masse A et numéro atomique Z) simultanément lors de l'écriture d'une équation de désintégration.

Confondre demi-vie t½ et constante radioactive λ — la relation correcte est t½ = ln(2)/λ, pas t½ = 1/λ.

Croire qu'après deux demi-vies il ne reste plus rien de l'échantillon — en réalité N décroît en étant divisé par 2 à chaque demi-vie (il reste théoriquement toujours une fraction non nulle).

Confondre le nombre de noyaux restants N(t) et l'activité A(t) — l'activité, en becquerels (Bq), est proportionnelle à N(t) via A(t) = λN(t), ce n'est pas la même grandeur.

Mélanger les unités de temps entre λ et t½ (jours, années, secondes) sans les convertir dans le même système avant de calculer.

Exemple corrigé — Décroissance et activité

Énoncé

Une source radioactive contient $N_0 = 5 \times 10^{10}$ noyaux à $t=0$ . Sa demi-vie vaut $t_{1/2} = 4$ jours. 1) Calculer la constante radioactive λ (en jour⁻¹). 2) Calculer le nombre de noyaux restants après 12 jours. 3) Calculer l'activité initiale $A_0$ en becquerels.

Correction

1) $\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} = \dfrac{0{,}693}{4} \approx 0{,}173\ \text{jour}^{-1}$ .

2) $12$ jours $= 3$ demi-vies, donc $N(12) = \dfrac{N_0}{2^3} = \dfrac{5\times 10^{10}}{8} \approx 6{,}25 \times 10^{9}$ noyaux.

3) On convertit $t_{1/2}$ en secondes : $4 \times 86400 = 345\,600\ \text{s}$ , d'où $\lambda = \dfrac{\ln 2}{345\,600} \approx 2{,}01 \times 10^{-6}\ \text{s}^{-1}$ . L'activité initiale vaut $A_0 = \lambda N_0 = 2{,}01\times 10^{-6} \times 5\times 10^{10} \approx 1{,}00 \times 10^{5}\ \text{Bq}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Écrire l'équation de désintégration β⁻ du noyau de cobalt 60 ( $^{60}_{27}\text{Co}$ ), une source utilisée en gammagraphie industrielle, en précisant le noyau de nickel (Ni) obtenu.

Voir la correction

Une désintégration β⁻ émet un électron $^{0}_{-1}e$ . Les lois de conservation donnent : $A = 60$ (inchangé) et $Z = 27 + 1 = 28$ . L'équation s'écrit $^{60}_{27}\text{Co} \rightarrow \ ^{60}_{28}\text{Ni} + \ ^{0}_{-1}e$ .

Exercice 2

Moyen

Une source radioactive de jauge industrielle contient initialement $N_0 = 6 \times 10^8$ noyaux. Sa demi-vie vaut $t_{1/2} = 6$ ans. Combien reste-t-il de noyaux après 18 ans ?

Voir la correction

18 ans correspondent à $\dfrac{18}{6} = 3$ demi-vies. Donc $N = \dfrac{N_0}{2^3} = \dfrac{6\times 10^8}{8} = 7{,}5 \times 10^7$ noyaux.

Exercice 3

Difficile

Un radioisotope utilisé dans un détecteur industriel a une constante radioactive $\lambda = 4{,}62 \times 10^{-6}\ \text{s}^{-1}$ . Calculer sa demi-vie, en secondes puis en jours.

Voir la correction

$t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda} = \dfrac{0{,}693}{4{,}62 \times 10^{-6}} \approx 1{,}5 \times 10^{5}\ \text{s}$ . En jours : $\dfrac{1{,}5 \times 10^5}{86400} \approx 1{,}7$ jour.

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Questions fréquentes

Quelle est la loi de décroissance radioactive ?

N(t) = N₀e^(−λt), où N₀ est le nombre de noyaux radioactifs à l'instant t = 0, λ la constante radioactive (caractéristique du radionucléide, en s⁻¹) et t le temps écoulé. Cette loi exponentielle décrit une décroissance qui ne s'annule jamais complètement en théorie.

Où retrouve-t-on une source radioactive dans l'industrie électrique ?

Les jauges nucléaires industrielles utilisent l'absorption d'un rayonnement (β ou γ) par un matériau pour mesurer en continu, sans contact, l'épaisseur d'une tôle métallique ou le niveau d'un liquide dans une cuve fermée — un principe de mesure exploité dans de nombreuses chaînes de production automatisées, à côté des capteurs électroniques classiques.

Quelles sont les lois de conservation à respecter dans une désintégration radioactive ?

Les lois de Soddy : le nombre de masse total A (nombre de nucléons) et le numéro atomique total Z (charge électrique) doivent être conservés entre le noyau père et l'ensemble noyau fils + particule émise. Elles permettent d'identifier le noyau fils dans une équation de désintégration α, β⁻ ou β⁺.