Ondes Mécaniques Progressives Périodiques — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Objectifs d'apprentissage

Définir une onde progressive périodique et distinguer périodicité temporelle et périodicité spatiale
Calculer la longueur d'onde λ = v·T = v/N à partir de la célérité et de la période ou de la fréquence
Déterminer le retard τ = d/v entre la source et un point du milieu
Déterminer si deux points du milieu vibrent en phase ou en opposition de phase
Exploiter un chronogramme ou une coupure spatiale de l'onde pour lire T ou λ
Relier la longueur d'onde à la distance parcourue par l'onde pendant une période

Formules et résultats clés

Onde progressive périodique

Quand la source S d'une onde mécanique vibre périodiquement (mouvement qui se répète identique à lui-même après une durée T), chaque point du milieu reproduit ce mouvement périodique avec le même retard τ = d/v. L'onde acquiert alors une double périodicité :

Périodicité temporelle

En un point fixé, l'état vibratoire se répète à l'identique après une durée T (la période, en s).

Périodicité spatiale

À un instant fixé, l'état vibratoire se répète à l'identique après une distance λ (la longueur d'onde, en m).

Longueur d'onde

$\lambda = v \times T = \dfrac{v}{N}$ — $\lambda$ en m, $v$ en m/s, $T$ en s, $N = \frac{1}{T}$ (fréquence) en Hz

λ est la distance parcourue par l'onde pendant une période T. C'est aussi la plus courte distance séparant deux points du milieu qui vibrent exactement en phase à chaque instant.

Relation de phase entre deux points

Deux points M₁ et M₂ alignés sur la direction de propagation, séparés d'une distance $d$ , vibrent : en phase si $d = k\lambda$ ( $k$ entier), en opposition de phase si $d = \left(k+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$ .

Compléments du programme

La diffraction d'une onde mécanique

Quand une onde progressive périodique rencontre une ouverture (ou un obstacle) de largeur

a

, elle se propage au-delà en changeant de direction : c'est la diffraction. Le phénomène est net lorsque

a

est du même ordre de grandeur que la longueur d'onde, ou plus petit (

a \lesssim \lambda

). L'onde diffractée garde la même fréquence, la même célérité et donc la même longueur d'onde que l'onde incidente ; seule la forme des fronts d'onde change. Exemple à la cuve à ondes : des ondes planes de

\lambda = 1{,}5

cm traversant une fente de 1 cm donnent, après la fente, des ondes circulaires centrées sur elle.

Milieu dispersif

Un milieu est dispersif lorsque la célérité d'une onde périodique y dépend de sa fréquence :

v = \lambda N

n'est plus la même pour toutes les fréquences. La surface de l'eau est un milieu dispersif pour les ondes qui s'y propagent ; l'air ne l'est pratiquement pas pour le son, ce qui permet d'entendre un orchestre lointain sans décalage entre graves et aigus. Pour le montrer à l'examen : mesurer

\lambda

pour deux fréquences

N_1

N_2

, calculer

v_1 = \lambda_1 N_1

v_2 = \lambda_2 N_2

et comparer — deux valeurs différentes prouvent que le milieu est dispersif.

Erreurs fréquentes

Confondre la période temporelle T (en secondes, propriété du mouvement d'un point) et la longueur d'onde λ (en mètres, propriété spatiale de l'onde à un instant donné).

Oublier que la célérité v ne dépend que du milieu : ce n'est pas parce que la fréquence de la source change que v change — c'est λ qui change, via λ = v/N.

Se tromper dans la condition de phase : croire que d = k·λ donne l'opposition de phase et d = (k+1/2)·λ la phase — c'est l'inverse.

Oublier de vérifier que le rapport d/λ n'est ni un entier ni un entier plus une demi-unité — dans ce cas, les deux points ne sont ni en phase ni en opposition de phase.

Mélanger les unités en calculant λ = v·T : oublier de convertir une période donnée en millisecondes avant de multiplier par v en m/s.

Exemple corrigé — Double périodicité et relation de phase

Énoncé

Une onde progressive périodique de période $T = 20\ \text{ms}$ se propage le long d'une corde à la célérité $v = 2\ \text{m/s}$ . Calculer sa longueur d'onde. Deux points M₁ et M₂ de la corde sont séparés de $d = 10\ \text{cm}$ : sont-ils en phase ou en opposition de phase ?

Correction

$T = 20\ \text{ms} = 0{,}020\ \text{s}$ . Donc $\lambda = v \times T = 2 \times 0{,}020 = 0{,}04\ \text{m} = 4\ \text{cm}$ .

On calcule le rapport $\dfrac{d}{\lambda} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$ .

$2{,}5 = 2 + \dfrac{1}{2}$ , ce qui correspond à la forme $k + \dfrac{1}{2}$ avec $k=2$ . M₁ et M₂ vibrent donc en opposition de phase.

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Une onde sonore de fréquence $N = 170\ \text{Hz}$ se propage dans l'air à la célérité $v = 340\ \text{m/s}$ . Calculer sa longueur d'onde.

Voir la correction

On utilise $\lambda = \dfrac{v}{N} = \dfrac{340}{170} = 2\ \text{m}$ .

Exercice 2

Moyen

Une source S vibre avec une période $T = 0{,}1\ \text{s}$ et crée une onde de célérité $v = 0{,}5\ \text{m/s}$ le long d'une corde. Calculer la longueur d'onde $\lambda$ , puis le retard $\tau$ d'un point M situé à $d = 12{,}5\ \text{cm}$ de S.

Voir la correction

$\lambda = v \times T = 0{,}5 \times 0{,}1 = 0{,}05\ \text{m} = 5\ \text{cm}$ . Le retard vaut $\tau = \dfrac{d}{v} = \dfrac{0{,}125}{0{,}5} = 0{,}25\ \text{s}$ , soit $\tau = 2{,}5\,T$ .

Exercice 3

Difficile

Deux points M₁ et M₂, alignés sur la direction de propagation d'une onde de longueur d'onde $\lambda = 6\ \text{cm}$ , sont situés respectivement à $d_1 = 8\ \text{cm}$ et $d_2 = 20\ \text{cm}$ de la source. M₁ et M₂ vibrent-ils en phase ou en opposition de phase ?

Voir la correction

La distance entre M₁ et M₂ vaut $d_2 - d_1 = 20 - 8 = 12\ \text{cm}$ . Le rapport $\dfrac{d_2-d_1}{\lambda} = \dfrac{12}{6} = 2$ , un nombre entier. M₁ et M₂ vibrent donc en phase (leur écart de distance est un multiple entier de λ).

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que la double périodicité d'une onde progressive périodique ?

Une onde progressive périodique possède une périodicité temporelle (chaque point du milieu reproduit son mouvement identique à lui-même après une durée T, la période) et une périodicité spatiale (le même état vibratoire se retrouve identique après une distance λ, la longueur d'onde, à un instant donné). Ces deux périodicités sont liées par λ = v·T.

Comment calculer la longueur d'onde λ ?

λ = v·T = v/N, où v est la célérité de l'onde dans le milieu (m/s), T sa période temporelle (s) et N sa fréquence (Hz). λ représente la distance parcourue par l'onde pendant une période, mais aussi la plus courte distance séparant deux points du milieu qui vibrent exactement en phase.

Comment savoir si deux points vibrent en phase ou en opposition de phase ?

Deux points M₁ et M₂ alignés sur la direction de propagation, séparés d'une distance d, vibrent en phase si d = k·λ (k entier), et en opposition de phase si d = (k + 1/2)·λ. Il suffit de calculer le rapport d/λ : s'il tombe sur un entier, les points sont en phase ; s'il tombe sur un entier plus une demi-unité, ils sont en opposition de phase.