Atome et Mécanique de Newton — Quantification de l'Énergie, Exercices (Bac SMA)

Q: Pourquoi la mécanique de Newton échoue-t-elle pour l'atome ?

Parce qu'elle ne prévoit aucune quantification : un électron en orbite « à la Newton » pourrait avoir n'importe quelle énergie et, étant accéléré, devrait rayonner jusqu'à s'écraser sur le noyau en émettant un spectre continu. Or l'atome est stable et son spectre est fait de raies : son énergie ne prend que des valeurs discrètes.

Q: Que signifie le signe « − » dans E_n = −13,6/n² ?

Il traduit un état lié : il faut fournir de l'énergie pour arracher l'électron. L'énergie nulle correspond à l'électron libre (atome ionisé), donc tous les états liés ont une énergie négative, d'autant plus basse que n est petit.

Q: Comment un atome émet-il de la lumière ?

En passant d'un niveau d'énergie élevé E_n à un niveau plus bas E_p, il émet un photon d'énergie exactement hν = E_n − E_p. Les niveaux étant discrets, seules certaines fréquences sont émises : ce sont les raies du spectre. L'absorption est le processus inverse.

Objectifs d'apprentissage

Décrire le modèle planétaire de l'atome et énoncer ses deux prédictions contredites par l'expérience
Expliquer pourquoi la mécanique de Newton ne permet pas de décrire l'atome
Interpréter un spectre de raies par la quantification de l'énergie de l'atome
Utiliser la relation E_n = −13,6/n² (eV) pour l'atome d'hydrogène
Calculer l'énergie, la fréquence et la longueur d'onde d'un photon émis ou absorbé lors d'une transition (ΔE = hν = hc/λ)
Déterminer une énergie d'ionisation et le niveau atteint après l'absorption d'un photon

Formules et résultats clés

Le modèle planétaire et ses limites

Dans le modèle de Rutherford, l'électron décrit une orbite circulaire autour du noyau, la force de Coulomb $F = k\dfrac{e^2}{r^2}$ jouant le rôle de force centripète. Mais une charge accélérée rayonne : l'électron perdrait de l'énergie, spiralerait vers le noyau (atome instable) et émettrait un spectre continu. L'atome est pourtant stable et son spectre est formé de raies : la mécanique de Newton atteint ici ses limites.

Quantification de l'énergie

$E_n = -\dfrac{13{,}6}{n^2}\ \text{eV}, \quad n \in \mathbb{N}^*$

L'énergie de l'atome ne prend que des valeurs discrètes, appelées niveaux d'énergie. Pour l'hydrogène, $n = 1$ est l'état fondamental (le plus stable) ; les niveaux $n \geq 2$ sont des états excités ; quand $n \to \infty$ , $E \to 0$ : l'atome est ionisé.

Émission et absorption d'un photon

$|\Delta E| = |E_p - E_n| = h\nu = \dfrac{hc}{\lambda}$

Émission : l'atome passe d'un niveau haut à un niveau bas et émet un photon. Absorption : il ne capte un photon que si son énergie est exactement égale à l'écart entre deux niveaux. Chaque transition donne une fréquence précise, donc une raie : le spectre d'un élément est sa signature.

Erreurs fréquentes

Croire que le modèle planétaire explique le spectre de raies : il prédit au contraire un spectre continu et un atome qui s'effondre.

Oublier le signe « − » dans E_n = −13,6/n² : les états liés ont une énergie négative.

Confondre l'état fondamental (n = 1, énergie la plus basse) et l'état ionisé (n → ∞, E = 0).

Mélanger électronvolts et joules dans λ = hc/ΔE : convertir d'abord (1 eV = 1,6 × 10⁻¹⁹ J).

Penser qu'un atome peut absorber n'importe quel photon : seule une énergie égale à l'écart exact entre deux niveaux est absorbée.

Exemple corrigé — Raie de l'hydrogène

Énoncé

Atome d'hydrogène : $E_n = -\dfrac{13{,}6}{n^2}\ \text{eV}$ . Déterminer l'énergie du photon émis lors de la transition $n = 3 \to n = 2$ , puis sa longueur d'onde ( $h = 6{,}63\times 10^{-34}\ \text{J·s}$ , $c = 3{,}0\times 10^{8}\ \text{m/s}$ , $1\ \text{eV} = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{J}$ ).

Correction

1) Niveaux. $E_3 = -\dfrac{13{,}6}{9} \approx -1{,}51\ \text{eV}$ ; $E_2 = -\dfrac{13{,}6}{4} = -3{,}40\ \text{eV}$ .

2) Énergie du photon. $|\Delta E| = |E_2 - E_3| = 1{,}89\ \text{eV} \approx 3{,}02\times 10^{-19}\ \text{J}$ (photon émis, car $E_2 < E_3$ ).

3) Longueur d'onde. $\lambda = \dfrac{hc}{|\Delta E|} = \dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}0\times 10^{8}}{3{,}02\times 10^{-19}} \approx 6{,}6\times 10^{-7}\ \text{m} \approx 658\ \text{nm}$ : c'est la raie rouge $H_\alpha$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Calculer l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène pris dans son état fondamental ( $E_1 = -13{,}6\ \text{eV}$ ).

Voir la correction

$E_{ion} = E_\infty - E_1 = 0 - (-13{,}6) = 13{,}6\ \text{eV}$ .

Exercice 2

Moyen

Un photon d'énergie $12{,}09\ \text{eV}$ est absorbé par un atome d'hydrogène dans l'état fondamental. Vers quel niveau $n$ l'atome est-il porté ?

Voir la correction

$E_n - E_1 = 12{,}09 \Rightarrow E_n = -13{,}6 + 12{,}09 = -1{,}51\ \text{eV}$ . Or $E_n = -\dfrac{13{,}6}{n^2}$ , donc $n^2 = \dfrac{13{,}6}{1{,}51} \approx 9$ : $n = 3$ .

Exercice 3

Difficile

L'atome d'hydrogène passe du niveau $n = 4$ au niveau $n = 2$ . 1) Le photon est-il émis ou absorbé ? 2) Calculer son énergie en eV puis en J. 3) Calculer sa longueur d'onde et dire s'il appartient au domaine visible (400–800 nm). ( $h = 6{,}63\times 10^{-34}\ \text{J·s}$ , $c = 3{,}0\times 10^{8}\ \text{m/s}$ , $1\ \text{eV} = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{J}$ .)

Voir la correction

1) L'atome descend vers un niveau plus bas : le photon est émis. 2) $E_4 = -\dfrac{13{,}6}{16} = -0{,}85\ \text{eV}$ , $E_2 = -3{,}40\ \text{eV}$ , donc $|\Delta E| = 2{,}55\ \text{eV} = 2{,}55\times 1{,}6\times 10^{-19} \approx 4{,}08\times 10^{-19}\ \text{J}$ . 3) $\lambda = \dfrac{hc}{|\Delta E|} = \dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}0\times 10^{8}}{4{,}08\times 10^{-19}} \approx 4{,}87\times 10^{-7}\ \text{m} \approx 487\ \text{nm}$ : raie bleu-vert, dans le visible (raie $H_\beta$ ).

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Pourquoi la mécanique de Newton échoue-t-elle pour l'atome ?

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