Limites et Continuité — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Q: Le chapitre Limites et continuité est-il important pour le Bac SMA ?

Oui, c'est le premier grand chapitre d'analyse de 2ème Bac et le prérequis direct de la dérivation, des fonctions primitives et du calcul intégral qui suivent. Le théorème des valeurs intermédiaires y est particulièrement testé — c'est un classique quasi systématique des sujets d'examen national.

Q: Quelle est la différence entre limite et continuité en un point ?

Une fonction admet une limite ℓ en a si f(x) se rapproche de ℓ quand x se rapproche de a — ℓ peut être différent de f(a), ou f peut même ne pas être définie en a. Une fonction est continue en a précisément quand cette limite existe ET qu'elle est égale à f(a).

Q: Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est-il au programme du Bac marocain ?

Oui, c'est un outil central du chapitre. Il sert le plus souvent à démontrer qu'une équation f(x) = 0 admet au moins une solution sur un intervalle, en montrant que f est continue et change de signe entre les deux bornes. Combiné à la stricte monotonie de f, il permet aussi de conclure à l'unicité de cette solution.

Objectifs d'apprentissage

Calculer la limite d'une fonction polynôme, rationnelle ou avec racine carrée, en un point ou en l'infini
Lever une forme indéterminée par factorisation ou par la quantité conjuguée
Étudier la continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer l'existence d'une solution
Combiner TVI et stricte monotonie pour démontrer l'unicité d'une solution
Prolonger une fonction par continuité en un point où elle n'est pas définie

Formules et résultats clés

Opérations sur les limites

Si $\lim_{x \to a} f(x) = \ell_1$ et $\lim_{x \to a} g(x) = \ell_2$ (avec $\ell_1, \ell_2$ finies), alors, tant qu'on n'est pas dans un cas indéterminé :

$\lim (f+g) = \ell_1 + \ell_2 \qquad \lim (f \times g) = \ell_1 \times \ell_2 \qquad \lim \dfrac{f}{g} = \dfrac{\ell_1}{\ell_2} \ (\text{si } \ell_2 \neq 0)$

Les 4 formes indéterminées à connaître

∞ − ∞

∞ / ∞

0 / 0

0 × ∞

Pour lever ces formes, deux techniques couvrent la grande majorité des cas au Bac : la factorisation (fonctions polynômes et rationnelles) et la multiplication par la quantité conjuguée (fonctions avec racine carrée).

Continuité en un point

$f$ est continue en $a$ $\iff$ $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Autrement dit : la limite doit exister et être finie et être égale à la valeur de la fonction en ce point. Les trois conditions comptent.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $\,]a,b[$ . Si, en plus, $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$ , cette solution est unique.

Compléments du programme

Approcher une solution par dichotomie

f

est continue et strictement monotone sur

[a ; b]

avec

f(a)\,f(b) < 0

, l'équation

f(x) = 0

a une unique solution

\alpha

dans

]a ; b[

(théorème des valeurs intermédiaires). La dichotomie l'encadre : on calcule

f(m)

au milieu

m = \dfrac{a + b}{2}

et l'on garde la moitié de l'intervalle où

f

change de signe. Après

n

étapes, l'encadrement a pour amplitude

\dfrac{b - a}{2^n}

. Exemple avec

f(x) = x^3 + x - 1

sur

[0 ; 1]

f(0) = -1

f(1) = 1

;

f(0{,}5) = -0{,}375 < 0

donc

\alpha \in [0{,}5 ; 1]

;

f(0{,}75) \approx 0{,}17 > 0

donc

\alpha \in [0{,}5 ; 0{,}75]

Fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone

f

est continue et strictement monotone sur un intervalle

I

, elle réalise une bijection de

I

sur l'intervalle

J = f(I)

: tout

y

J

a un unique antécédent

x

dans

I

. Sa fonction réciproque

f^{-1}

est définie sur

J

par

f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y

; elle est continue sur

J

et a le même sens de variation que

f

. Dans un repère orthonormé, les courbes de

f

et de

f^{-1}

sont symétriques par rapport à la droite

y = x

. Exemple :

f(x) = x^2

est continue et strictement croissante sur

[0 ; +\infty[

, sa réciproque est

f^{-1}(x) = \sqrt{x}

Image d'un intervalle par une fonction continue

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Si

f

est continue et strictement croissante sur

[a ; b]

, alors

f([a ; b]) = [f(a) ; f(b)]

; si elle est strictement décroissante,

f([a ; b]) = [f(b) ; f(a)]

. Sur un intervalle ouvert ou non borné, on remplace les valeurs aux bornes par les limites : pour

f

croissante sur

]a ; b[

f(]a ; b[) = \,]\lim_a f ; \lim_b f[

. Exemple :

f(x) = x^2 - 2x

est continue et croissante sur

[1 ; 3]

(car

f'(x) = 2x - 2 \ge 0

), donc

f([1 ; 3]) = [-1 ; 3]

Erreurs fréquentes

Conclure une limite sans lever la forme indéterminée — écrire directement un résultat sur « ∞ − ∞ » ou « 0/0 » sans factoriser ni utiliser la quantité conjuguée.

Oublier de vérifier que f est continue sur l'intervalle avant d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires : c'est une hypothèse, pas un détail.

Conclure à l'unicité d'une solution avec le seul TVI — il faut en plus justifier la stricte monotonie de f (via le signe de f′) pour parler d'unicité.

Oublier de vérifier le domaine de définition avant de calculer une limite (racine carrée d'un nombre négatif, dénominateur nul).

Exemple corrigé — Théorème des valeurs intermédiaires

Énoncé

Montrer que l'équation $x^3 - 3x + 1 = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0,1]$ .

Correction

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$ . La fonction $f$ est un polynôme, donc continue sur $[0,1]$ .

On calcule les bornes : $f(0) = 1 > 0$ et $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0$ . Donc $f(0) \times f(1) < 0$ .

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un $c \in \,]0,1[$ tel que $f(c) = 0$ .

Pour l'unicité : $f'(x) = 3x^2 - 3$ . Sur $[0,1]$ , $x^2 \le 1$ donc $f'(x) \le 0$ , avec égalité seulement en $x=1$ — $f$ est donc strictement décroissante sur $[0,1[$ , ce qui garantit l'unicité de la solution $c$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Calculer $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ .

Voir la correction

On factorise le numérateur : $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ . Pour $x \neq 3$ , $\dfrac{x^2-9}{x-3} = x+3$ . Donc $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-9}{x-3} = 3+3 = 6$ .

Exercice 2

Moyen

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2+1} - x \right)$ .

Voir la correction

Forme indéterminée « ∞ − ∞ ». On multiplie par la quantité conjuguée : $\sqrt{x^2+1} - x = \dfrac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$ . Quand $x \to +\infty$ , le dénominateur tend vers $+\infty$ , donc la limite vaut $0$ .

Exercice 3

TVI

Montrer que l'équation $x^3 - 3x + 1 = 0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[0,1]$ .

Voir la correction

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$ . $f$ est un polynôme donc continue sur $[0,1]$ . On a $f(0) = 1 > 0$ et $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0$ , donc $f(0) \times f(1) < 0$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c \in \,]0,1[$ tel que $f(c) = 0$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Le chapitre Limites et continuité est-il important pour le Bac SMA ?

Oui, c'est le premier grand chapitre d'analyse de 2ème Bac et le prérequis direct de la dérivation, des fonctions primitives et du calcul intégral qui suivent. Le théorème des valeurs intermédiaires y est particulièrement testé — c'est un classique quasi systématique des sujets d'examen national.

Quelle est la différence entre limite et continuité en un point ?

Une fonction admet une limite ℓ en a si f(x) se rapproche de ℓ quand x se rapproche de a — ℓ peut être différent de f(a), ou f peut même ne pas être définie en a. Une fonction est continue en a précisément quand cette limite existe ET qu'elle est égale à f(a).

Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est-il au programme du Bac marocain ?

Oui, c'est un outil central du chapitre. Il sert le plus souvent à démontrer qu'une équation f(x) = 0 admet au moins une solution sur un intervalle, en montrant que f est continue et change de signe entre les deux bornes. Combiné à la stricte monotonie de f, il permet aussi de conclure à l'unicité de cette solution.