Calcul Intégral — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Objectifs d'apprentissage

Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive et du théorème fondamental
Utiliser la linéarité de l'intégrale pour simplifier un calcul
Appliquer la relation de Chasles pour découper un intervalle d'intégration
Interpréter une intégrale comme une aire sous une courbe lorsque $f \ge 0$
Calculer une aire géométrique lorsque $f$ change de signe sur l'intervalle
Mettre en œuvre une intégration par parties avec un choix judicieux de $u$ et $v'$

Formules et résultats clés

Théorème fondamental

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$ , alors $\quad \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ .

Linéarité et relation de Chasles

$\displaystyle\int_a^b (f+g) = \int_a^b f + \int_a^b g \qquad \int_a^b k f = k\int_a^b f$

$\displaystyle\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$

Intégrale et aire

Si $f \ge 0$ sur $[a,b]$ , l'intégrale $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est exactement l'aire, en unités d'aire, comprise entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ .

Intégration par parties

Pour $u$ et $v$ dérivables avec $u'$ et $v'$ continues sur $[a,b]$ : $\quad \displaystyle\int_a^b u'(x)v(x)\,dx = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx$

Compléments du programme

Fonction définie par une intégrale

f

est continue sur

I

a \in I

, la fonction

F(x) = \int_a^x f(t)\,dt

est la primitive de

f

sur

I

qui s'annule en

a

F' = f

. Si

u

est dérivable à valeurs dans

I

, la fonction

G(x) = \int_a^{u(x)} f(t)\,dt = F(u(x))

est dérivable et

G'(x) = u'(x)\,f\!\left(u(x)\right)

. Exemple :

G(x) = \int_1^{x^2} \dfrac{dt}{t}

pour

x > 0

vérifie

G'(x) = 2x \times \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{2}{x}

, ce que confirme le calcul direct

G(x) = \ln(x^2)

Sommes de Riemann

f

est continue sur

[a ; b]

, les sommes de Riemann convergent vers son intégrale :

\lim_{n\to+\infty} \dfrac{b - a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a + k\dfrac{b - a}{n}\right) = \int_a^b f(x)\,dx

. On s'en sert pour calculer la limite de suites définies par une somme. Exemples :

\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k}{n} \to \int_0^1 x\,dx = \dfrac{1}{2}

, et

\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n + k} = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{1 + k/n} \to \int_0^1 \dfrac{dx}{1 + x} = \ln 2

Volume d'un solide de révolution

f

est continue sur

[a ; b]

, la rotation de sa courbe autour de l'axe

(Ox)

engendre un solide dont le volume vaut

V = \int_a^b \pi\,f(x)^2\,dx

(en unités de volume). Exemple : pour

f(x) = \sqrt{x}

sur

[0 ; 4]

V = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi

. Avec

f(x) = r

constante sur

[0 ; h]

, on retrouve le volume d'un cylindre,

\pi r^2 h

Erreurs fréquentes

Oublier de soustraire $F(a)$ : calculer seulement $F(b)$ au lieu de $F(b) - F(a)$ .

Confondre intégrale et aire quand $f$ change de signe sur l'intervalle : l'intégrale peut être négative ou nulle, alors que l'aire géométrique nécessite de prendre la valeur absolue sur chaque morceau où $f$ garde un signe constant.

Mauvais choix de $u$ et $v'$ dans une intégration par parties, ce qui rend le nouveau calcul plus compliqué que l'intégrale de départ au lieu de la simplifier.

Oublier de vérifier que $f$ est bien continue sur $[a,b]$ avant d'appliquer le théorème fondamental — c'est une hypothèse nécessaire.

Exemple corrigé — Application du théorème fondamental

Énoncé

Calculer $\displaystyle\int_0^1 (2x+1)\,dx$ .

Correction

Une primitive de $2x+1$ est $F(x) = x^2+x$ .

D'après le théorème fondamental, $\displaystyle\int_0^1 (2x+1)\,dx = F(1) - F(0)$ .

$F(1) = 1^2+1 = 2$ et $F(0) = 0^2+0 = 0$ . Donc $\displaystyle\int_0^1 (2x+1)\,dx = 2 - 0 = 2$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Calculer $\displaystyle\int_0^2 (3x^2+1)\,dx$ .

Voir la correction

Une primitive de $3x^2+1$ est $F(x) = x^3+x$ . Donc $\displaystyle\int_0^2 (3x^2+1)\,dx = F(2)-F(0) = (8+2)-(0+0) = 10$ .

Exercice 2

Moyen

Calculer $\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx$ .

Voir la correction

Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur $\,]0,+\infty[$ est $\ln(x)$ . Donc $\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$ .

Exercice 3

IPP

Calculer $\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx$ à l'aide d'une intégration par parties.

Voir la correction

On pose $u(x) = x$ et $v'(x) = e^x$ , donc $u'(x) = 1$ et $v(x) = e^x$ . La formule donne $\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx = \big[x\,e^x\big]_0^1 - \displaystyle\int_0^1 e^x\,dx = (1 \cdot e^1 - 0) - \big[e^x\big]_0^1 = e - (e-1) = 1$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Le chapitre Calcul intégral est-il important pour le Bac SMA ?

Oui, c'est un des chapitres les plus rentables de 2ème Bac Sciences Mathématiques A. Il s'appuie directement sur les fonctions primitives, logarithmiques et exponentielles, et sert au calcul d'aires — un classique quasi systématique des sujets d'examen national.

Quelle est la différence entre l'intégrale d'une fonction et l'aire sous sa courbe ?

Quand f est positive sur [a,b], l'intégrale ∫ₐᵇ f(x)dx est exactement l'aire (en unités d'aire) entre la courbe et l'axe des abscisses. Mais si f change de signe, l'intégrale seule peut être négative ou se compenser : pour obtenir l'aire géométrique réelle, il faut découper l'intervalle selon le signe de f et sommer les valeurs absolues de chaque morceau.

Quand faut-il utiliser l'intégration par parties ?

Quand l'intégrale à calculer est le produit de deux fonctions dont aucune primitive directe n'est évidente — typiquement un polynôme multiplié par une exponentielle ou un logarithme. Le bon choix de u et v' est essentiel : en général on choisit v' comme la fonction facile à intégrer (souvent l'exponentielle), et u comme celle qui se simplifie en dérivant.