OrkaOrka/البكالوريا/العلوم الفيزيائية
ابدأ الآن
الرياضيات · Bac PC · المعامل 7

الدوال اللوغاريتمية — درس الرياضيات لبكالوريا العلوم الفيزيائية

الدالة $\ln$: خصائصها الجبرية، ومشتقتها $1/x$، ونهاياتها بما فيها نتائج النمو المقارن، ثم استعمالها في دراسة الدوال وحل المعادلات والمتراجحات.

راجعه Équipe Orka · 29 غشت 2026

ضمن برنامج بكالوريا PC

معامل الرياضيات 7 في شعبة العلوم الفيزيائية. تدرس الدالة $\ln$ قبل الدالة الأسية التي تعد دالتها العكسية، كما تظهر تطبيقاتها في الفيزياء والكيمياء مثل الأس الهيدروجيني والتناقص الإشعاعي والحركية الكيميائية.

في الامتحان

ترد غالباً ضمن دراسة دالة من الشكل $f(x)=ax+b+c\ln x$ أو $f(x)=\frac{\ln x}{x}$: تحديد المجال، وحساب المشتقة، وإنجاز جدول التغيرات، ودراسة النهايات والفروع اللانهائية، وأحياناً دراسة إشارة دالة مساعدة.

أهداف التعلم

  • استعمال الخصائص الجبرية للوغاريتم النيبيري لتبسيط تعبير أو حل معادلة
  • اشتقاق دالة تحتوي على $\ln$، بما في ذلك $\ln u$، ودراسة تغيراتها
  • حساب نهايات $\ln$ عند حدود مجالها واستعمال نتائج النمو المقارن
  • حل المعادلات والمتراجحات اللوغاريتمية بعد تحديد شروط الوجود
  • إنجاز دراسة كاملة لدالة تتضمن اللوغاريتم النيبيري

المفاهيم الأساسية

الخصائص الجبرية

لكل a,b>0a,b>0: ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a+\ln b، وln⁡ ⁣ab=ln⁡a−ln⁡b\ln\!\frac{a}{b}=\ln a-\ln b، وln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n)=n\ln a، وln⁡a=12ln⁡a\ln\sqrt{a}=\tfrac{1}{2}\ln a. كما أن ln⁡1=0\ln 1=0 وln⁡e=1\ln e=1. والدالة ln⁡\ln متزايدة تماماً: ln⁡a=ln⁡b  ⟺  a=b\ln a=\ln b\iff a=b وln⁡a<ln⁡b  ⟺  a<b\ln a<\ln b\iff a<b.

المشتقة والنهايات

لدينا (ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac{1}{x} على ]0,+∞[]0,+\infty[، و(ln⁡u)′=u′u\big(\ln u\big)'=\dfrac{u'}{u}. كذلك lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty وlim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty.

النمو المقارن

lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0، وبصفة أعم lim⁡x→+∞ln⁡xxα=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^\alpha}=0 لكل α>0\alpha>0، كما أن lim⁡x→0+xln⁡x=0\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x=0. عند اللانهاية تنمو القوة xαx^\alpha أسرع من ln⁡x\ln x.

الأخطاء الشائعة

1
كتابة ln⁡(a+b)=ln⁡a+ln⁡b\ln(a+b)=\ln a+\ln b؛ وهذه مساواة خاطئة، فالجداء وحده يتحول إلى مجموع.
2
حل المعادلة ln⁡x=k\ln x=k من دون فرض شرط الوجود x>0x>0.
3
نسيان أن ln⁡u\ln u معرف فقط حيث u>0u>0؛ لذلك يجب تحديد مجال التعريف قبل أي حساب.

مثال محلول

نص السؤال

حل في R\mathbb{R} المعادلة ln⁡(x−1)+ln⁡(x+2)=ln⁡4\ln(x-1)+\ln(x+2)=\ln4.

التصحيح

مجال التعريف. يجب أن يكون x−1>0x-1>0 وx+2>0x+2>0، ومنه x>1x>1.
التحويل. نحصل على ln⁡((x−1)(x+2))=ln⁡4\ln\big((x-1)(x+2)\big)=\ln4. وبما أن ln⁡\ln متزايدة تماماً، فإن (x−1)(x+2)=4(x-1)(x+2)=4.
الحل. لدينا x2+x−2=4x^2+x-2=4، أي x2+x−6=0x^2+x-6=0، ومنه (x−2)(x+3)=0(x-2)(x+3)=0؛ إذن x=2x=2 أو x=−3x=-3.
الاستنتاج. العدد x=2x=2 وحده يحقق الشرط x>1x>1، وبالتالي S={2}S=\{2\}.

افهم الدرس، ثم تدرب.

ينشئ Orka تمارين وامتحانات تجريبية مصححة تغطي برنامج الرياضيات في بكالوريا PC، مع تتبع تقدمك درساً بعد درس (وفق حدود عرضك).

تابع مجاناً مع Orka

3 تمارين للتدرب

التمرين 1

سهل
حل المعادلة 2ln⁡x−ln⁡(x+3)=02\ln x-\ln(x+3)=0.
عرض التصحيح
المجال هو x>0x>0. تصبح المعادلة ln⁡(x2)=ln⁡(x+3)\ln(x^2)=\ln(x+3)، ومنه x2=x+3x^2=x+3، أي x2−x−3=0x^2-x-3=0. الجذر الموجب وحده مقبول، ولذلك S={1+132}S=\left\{\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\right\}.

التمرين 2

متوسط
ادرس نهايتي f(x)=ln⁡xxf(x)=\dfrac{\ln x}{x} عند 0+0^+ وعند +∞+\infty، ثم أنجز جدول تغيراتها على ]0,+∞[]0,+\infty[.
عرض التصحيح
عند 0+0^+ لدينا f(x)→−∞f(x)\to-\infty. وعند +∞+\infty تعطي نتيجة النمو المقارن f(x)→0+f(x)\to0^+. كما أن f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}، وإشارتها هي إشارة 1−ln⁡x1-\ln x؛ إذن ff متزايدة على ]0,e[]0,e[ ومتناقصة على ]e,+∞[]e,+\infty[، وقيمتها القصوى f(e)=1ef(e)=\dfrac1e.

التمرين 3

صعب
لتكن g(x)=x−ln⁡xg(x)=x-\ln x على ]0,+∞[]0,+\infty[. أثبت أن لها قيمة دنيا واحسبها، ثم استنتج أن ln⁡x≤x−1\ln x\le x-1 لكل x>0x>0.
عرض التصحيح
g′(x)=1−1x=x−1xg'(x)=1-\dfrac1x=\dfrac{x-1}{x}؛ وهي سالبة على ]0,1[]0,1[ وموجبة على ]1,+∞[]1,+\infty[. للدالة قيمة دنيا عند x=1x=1 تساوي g(1)=1g(1)=1. ومنه g(x)≥1g(x)\ge1، أي x−ln⁡x≥1x-\ln x\ge1، وبالتالي ln⁡x≤x−1\ln x\le x-1.

تعمق أكثر في هذا الدرس

أكثر من 50 تمريناً تفاعلياً في هذا الدرس

تمارين يولدها الذكاء الاصطناعي ويصححها خطوة بخطوة حسب مستواك.

تسجيل الدخول مطلوب

اختبار ذكي متكيف

أسئلة تتكيف تلقائياً مع إجاباتك الصحيحة وأخطائك.

تسجيل الدخول مطلوب

تصحيح امتحانات سابقة مرتبطة بالدرس

مواضيع من الامتحانات الوطنية والجهوية السابقة.

تسجيل الدخول مطلوب

خطة مراجعة شخصية

ترتب أولوية هذا الدرس حسب تقدمك الحقيقي في الشعبة.

Premium

بطاقات مراجعة الدرس

الصيغ والتعريفات الأساسية لمراجعة سريعة.

Premium

مدرس ذكي بالدارجة

اطرح أسئلتك حول الدرس واحصل على شرح فوري.

Premium

الأسئلة الشائعة

هل ln⁡\ln وlog⁡\log هما الدالة نفسها في البكالوريا؟

الدالة المدروسة في الرياضيات هي اللوغاريتم النيبيري ln⁡\ln ذو الأساس ee. أما اللوغاريتم العشري log⁡\log ذو الأساس 10 فيظهر خصوصاً في الفيزياء والكيمياء عند دراسة الأس الهيدروجيني، وليس محور هذا الدرس.

كيف نعالج نهاية من الشكل ln⁡xx\frac{\ln x}{x} أو xln⁡xx\ln x؟

هما نتيجتان مقررتان ضمن النمو المقارن: ln⁡xx→0\frac{\ln x}{x}\to0 عند +∞+\infty وxln⁡x→0x\ln x\to0 عند 0+0^+. يمكن استعمالهما مباشرة ما لم يطلب التمرين إثباتهما.

هل يجب دائماً تحديد مجال التعريف؟

نعم. عند وجود ln⁡u\ln u نبدأ بحل المتراجحة u>0u>0. وقد تؤدي نتيجة جبرية صحيحة ولكنها خارج المجال إلى فقدان النقط.

اقرأ أيضاً

الدوال الأسية — بكالوريا العلوم الفيزيائيةالاشتقاق ودراسة الدوال — بكالوريا العلوم الفيزيائيةصيغ الرياضيات والفيزياء في البكالوريا المغربية