OrkaOrka/البكالوريا/العلوم الاقتصادية
ابدأ الآن
الرياضيات · Bac Éco · المعامل 4

الدوال الأسية — درس الرياضيات لبكالوريا العلوم الاقتصادية

الدالة $\exp$ العكسية للدالة $\ln$: الخاصية $e^{a+b}=e^ae^b$، ومشتقتها التي تساوي نفسها، ونهاياتها ونموها المقارن، واستعمالها في دراسة الدوال والمعادلات التفاضلية.

راجعه Équipe Orka · 29 غشت 2026

ضمن برنامج بكالوريا Éco

يدرس فصل الدوال الأسية ضمن برنامج الرياضيات لشعبة العلوم الاقتصادية. وتعاد مفاهيمه في دراسة الدوال وحل المسائل وتمارين الامتحان الوطني.

في الامتحان

ترد غالباً في دراسة دالة من الشكل $f(x)=(ax+b)e^x$ أو $f(x)=e^x/x$: الاشتقاق والإشارة والنهايات والمقاربات. وقد يطلب حل معادلة مثل $e^{2x}-3e^x+2=0$ بتغيير المجهول $X=e^x$.

أهداف التعلم

  • استعمال الخاصية $e^{a+b}=e^ae^b$ والرتابة الصارمة للدالة الأسية
  • اشتقاق دالة تحتوي على $e^u$ ودراسة تغيراتها
  • حساب نهايات الدالة الأسية واستعمال نتائج النمو المقارن
  • حل معادلة أو متراجحة أسية، عند الحاجة، بتغيير المجهول
  • إنجاز دراسة كاملة لدالة تتضمن $e^x$

المفاهيم الأساسية

الخصائص الأساسية

لكل عددين حقيقيين a,ba,b: ea+b=eaebe^{a+b}=e^ae^b، وe−a=1eae^{-a}=\dfrac1{e^a}، و(ea)n=ena(e^a)^n=e^{na}. كما أن e0=1e^0=1 وex>0e^x>0. والدالة exp⁡\exp متزايدة تماماً: ea=eb  ⟺  a=be^a=e^b\iff a=b. وأخيراً ln⁡(ex)=x\ln(e^x)=x وeln⁡x=xe^{\ln x}=x لكل x>0x>0.

المشتقة والنهايات

لدينا (ex)′=ex(e^x)'=e^x و(eu)′=u′eu\big(e^u\big)'=u'e^u. كذلك lim⁡x→−∞ex=0+\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+ وlim⁡x→+∞ex=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty.

النمو المقارن

lim⁡x→+∞exxn=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty لكل n∈Nn\in\mathbb N، وlim⁡x→−∞xex=0\displaystyle\lim_{x\to-\infty}xe^x=0. عند +∞+\infty تنمو الدالة الأسية أسرع من كل قوة للمتغير xx.

الأخطاء الشائعة

1
كتابة ea+b=ea+ebe^{a+b}=e^a+e^b؛ والصحيح هو ea+b=ea×ebe^{a+b}=e^a\times e^b.
2
نسيان العامل u′u' في الصيغة (eu)′=u′eu(e^u)'=u'e^u؛ فمثلاً (e3x)′=3e3x(e^{3x})'=3e^{3x}.
3
الاعتقاد أن العامل eue^u قد يغير الإشارة أو يقلب متراجحة؛ فهو موجب تماماً لكل قيمة حقيقية لـuu.

مثال محلول

نص السؤال

حل في R\mathbb R المعادلة e2x−3ex+2=0e^{2x}-3e^x+2=0.

التصحيح

تغيير المجهول. نضع X=exX=e^x مع الشرط X>0X>0، فتصبح المعادلة X2−3X+2=0X^2-3X+2=0.
الحل بدلالة XX. لدينا (X−1)(X−2)=0(X-1)(X-2)=0، ومنه X=1X=1 أو X=2X=2، وكلاهما موجب.
الرجوع إلى xx. من ex=1e^x=1 نجد x=0x=0، ومن ex=2e^x=2 نجد x=ln⁡2x=\ln2.
الاستنتاج. S={0 ;ln⁡2}S=\{0\,;\ln2\}.

افهم الدرس، ثم تدرب.

ينشئ Orka تمارين وامتحانات تجريبية مصححة تغطي برنامج الرياضيات في بكالوريا Éco، مع تتبع تقدمك درساً بعد درس (وفق حدود عرضك).

تابع مجاناً مع Orka

3 تمارين للتدرب

التمرين 1

سهل
حل المعادلة ex2−1=1e^{x^2-1}=1.
عرض التصحيح
ex2−1=e0e^{x^2-1}=e^0، وبحقن الدالة exp⁡\exp نحصل على x2−1=0x^2-1=0، أي x=1x=1 أو x=−1x=-1. إذن S={−1 ;1}S=\{-1\,;1\}.

التمرين 2

متوسط
لتكن f(x)=(x−1)exf(x)=(x-1)e^x. احسب f′(x)f'(x) وادرس إشارتها وتغيرات ff، ثم حدد نهايتها عند −∞-\infty.
عرض التصحيح
f′(x)=ex+(x−1)ex=xexf'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x ولها إشارة xx. إذن ff متناقصة على ]−∞,0]]-\infty,0] ومتزايدة على [0,+∞[[0,+\infty[، وقيمتها الدنيا f(0)=−1f(0)=-1. وبما أن xex→0xe^x\to0 وex→0e^x\to0 عند −∞-\infty، فإن f(x)→0f(x)\to0.

التمرين 3

صعب
أثبت أن ex≥x+1e^x\ge x+1 لكل x∈Rx\in\mathbb R، وأن المساواة تتحقق فقط عند x=0x=0.
عرض التصحيح
نضع φ(x)=ex−x−1\varphi(x)=e^x-x-1. لدينا φ′(x)=ex−1\varphi'(x)=e^x-1؛ وهي سالبة على ]−∞,0[]-\infty,0[ وموجبة على ]0,+∞[]0,+\infty[. إذن القيمة الدنيا هي φ(0)=0\varphi(0)=0، ومنه ex≥x+1e^x\ge x+1، ولا تتحقق المساواة إلا عند x=0x=0.

تعمق أكثر في هذا الدرس

أكثر من 50 تمريناً تفاعلياً في هذا الدرس

تمارين يولدها الذكاء الاصطناعي ويصححها خطوة بخطوة حسب مستواك.

تسجيل الدخول مطلوب

اختبار ذكي متكيف

أسئلة تتكيف تلقائياً مع إجاباتك الصحيحة وأخطائك.

تسجيل الدخول مطلوب

تصحيح امتحانات سابقة مرتبطة بالدرس

مواضيع من الامتحانات الوطنية والجهوية السابقة.

تسجيل الدخول مطلوب

خطة مراجعة شخصية

ترتب أولوية هذا الدرس حسب تقدمك الحقيقي في الشعبة.

Premium

بطاقات مراجعة الدرس

الصيغ والتعريفات الأساسية لمراجعة سريعة.

Premium

مدرس ذكي بالدارجة

اطرح أسئلتك حول الدرس واحصل على شرح فوري.

Premium

الأسئلة الشائعة

ما تغيير المجهول المناسب لمعادلة أسية؟

إذا لم تتضمن المعادلة إلا exe^x وقواه، نضع X=exX=e^x مع X>0X>0، ثم نحل بدلالة XX ونرجع إلى xx باستعمال x=ln⁡Xx=\ln X.

إلى ماذا تؤول ex/xne^x/x^n عند +∞+\infty؟

تؤول إلى +∞+\infty لأن الدالة الأسية تنمو أسرع من كل قوة لـxx. وبالمقابل xn/ex→0x^n/e^x\to0 عند +∞+\infty وxnex→0x^n e^x\to0 عند −∞-\infty.

هل يمكن أن تتغير إشارة eue^u؟

لا، فلدينا دائماً eu>0e^u>0. لذلك لا يغير هذا العامل إشارة جداء أو خارج، ولا يقلب المتراجحة عند القسمة عليه.

اقرأ أيضاً

الدوال اللوغاريتمية — بكالوريا العلوم الاقتصاديةبرنامج الرياضيات ومواضيع البكالوريا المغربية