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Physique-Chimie · Bac SVT · Coefficient 5

Mouvements plans — Cours Physique Bac SVT

Un projectile dans le champ de pesanteur combine un mouvement rectiligne uniforme à l'horizontale et une chute libre à la verticale : équations horaires, trajectoire parabolique, portée et flèche.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SVT

Coefficient 5 en Bac SVT, derrière les Mathématiques et la SVT (coefficient 7). Programme allégé en 23 chapitres : dipôles RC et RL, oscillations libres RLC, lois de Newton, chute libre, mouvements plans et oscillateurs mécaniques — sans RLC en régime sinusoïdal forcé, satellites, rotation ni particules chargées. Les mouvements plans généralisent la chute libre à un lancer oblique ; la 2ᵉ loi de Newton s'y projette sur deux axes.

À l'épreuve

Projection de $\vec a=\vec g$ sur deux axes, écriture de $x(t)$ et $y(t)$, élimination du temps pour obtenir l'équation de la trajectoire $y=f(x)$, calcul de la date et de la hauteur du sommet (flèche), de la portée.

Objectifs d'apprentissage

  • Décomposer le mouvement en composantes horizontale (MRU) et verticale (chute libre)
  • Écrire les équations horaires x(t) et y(t) avec les conditions initiales
  • Établir l'équation de la trajectoire y = f(x)
  • Calculer la date et la hauteur du sommet (flèche)
  • Calculer la portée d'un tir

Notions clés

Décomposition du mouvement

La seule force est le poids : a⃗=g⃗\vec a=\vec g, donc ax=0a_x=0 (mouvement rectiligne uniforme horizontal) et ay=−ga_y=-g (chute libre verticale).

Équations horaires

Avec un lancer depuis l'origine, vitesse v0v_0 faisant l'angle α\alpha avec l'horizontale : x(t)=v0cos⁡α⋅tx(t)=v_0\cos\alpha\cdot t et y(t)=−12g t2+v0sin⁡α⋅ty(t)=-\tfrac12 g\,t^{2}+v_0\sin\alpha\cdot t.

Trajectoire, flèche, portée

En éliminant tt : y=−g2v02cos⁡2α x2+tan⁡α⋅xy=-\dfrac{g}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha}\,x^{2}+\tan\alpha\cdot x (parabole). Sommet à t=v0sin⁡αgt=\dfrac{v_0\sin\alpha}{g}, flèche H=(v0sin⁡α)22gH=\dfrac{(v_0\sin\alpha)^{2}}{2g}. Portée maximale pour α=45∘\alpha=45^{\circ}.

Mouvement d'un solide sur un plan horizontal ou incliné

Un solide de masse mm glisse sur un plan incliné d'un angle α\alpha sur l'horizontale. Il subit son poids P⃗\vec P et la réaction R⃗\vec R du plan. Sans frottement, la deuxième loi de Newton projetée sur un axe parallèle à la pente (orienté vers le bas) donne a=gsin⁡αa = g\sin\alpha : le mouvement est rectiligne uniformément varié ; sur l'axe normal, R=mgcos⁡αR = mg\cos\alpha. Avec une force de frottement constante ff opposée au mouvement : a=gsin⁡α−fma = g\sin\alpha - \dfrac{f}{m}. Sur un plan horizontal, un solide lancé qui glisse avec frottement décélère (a=−fma = -\dfrac{f}{m}) ; tiré par une force F⃗\vec F faisant un angle β\beta avec l'horizontale, il vérifie ma=Fcos⁡β−fma = F\cos\beta - f. Exemple : α=30°\alpha = 30° sans frottement donne a=9,8×0,5=4,9 m⋅s−2a = 9{,}8 \times 0{,}5 = 4{,}9\ m\cdot s^{-2}.

Erreurs fréquentes

1
Mettre une accélération horizontale : a_x = 0 (aucune force horizontale).
2
Oublier le signe « − » de a_y = −g (axe vers le haut).
3
Confondre la date du sommet et la portée.
4
Ne pas projeter v₀ : v₀ₓ = v₀cosα, v₀ᵧ = v₀sinα.

Exemple corrigé

Énoncé

Un projectile est lancé depuis l'origine avec v0=20 m/sv_0=20\ \text{m/s} et un angle α=30∘\alpha=30^{\circ} (g=10 m/s2g=10\ \text{m/s}^{2}). Écrire les équations horaires, puis calculer la date et la hauteur du sommet.

Correction

Composantes de v0v_0. v0cos⁡30∘=20×32≈17,3 m/sv_0\cos 30^{\circ}=20\times \dfrac{\sqrt3}{2}\approx 17{,}3\ \text{m/s} ; v0sin⁡30∘=20×0,5=10 m/sv_0\sin 30^{\circ}=20\times 0{,}5=10\ \text{m/s}.
Équations horaires. x(t)=17,3 tx(t)=17{,}3\,t et y(t)=−5 t2+10 ty(t)=-5\,t^{2}+10\,t.
Sommet. vy=0v_y=0 pour t=v0sin⁡αg=1010=1,0 st=\dfrac{v_0\sin\alpha}{g}=\dfrac{10}{10}=1{,}0\ \text{s}.
Flèche. y(1,0)=−5×1,02+10×1,0=5,0 my(1{,}0)=-5\times 1{,}0^{2}+10\times 1{,}0=5{,}0\ \text{m}.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Un objet est lancé horizontalement à v0=10 m/sv_0=10\ \text{m/s} depuis une hauteur h=5,0 mh=5{,}0\ \text{m} (g=10 m/s2g=10\ \text{m/s}^{2}). Calculer la portée (distance horizontale au point d'impact).
Voir la correction
Durée de chute : t=2hg=1,0=1,0 st=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{1{,}0}=1{,}0\ \text{s}. Portée : x=v0 t=10×1,0=10 mx=v_0\,t=10\times 1{,}0=10\ \text{m}.

Exercice 2

Moyen
Un projectile part avec v0=25 m/sv_0=25\ \text{m/s} et α=53∘\alpha=53^{\circ} (sin⁡53∘≈0,8\sin 53^{\circ}\approx 0{,}8, g=10 m/s2g=10\ \text{m/s}^{2}). Calculer la date du sommet et la flèche.
Voir la correction
v0sin⁡α=25×0,8=20 m/sv_0\sin\alpha=25\times 0{,}8=20\ \text{m/s}. Date du sommet : t=2010=2,0 st=\dfrac{20}{10}=2{,}0\ \text{s}. Flèche : H=(v0sin⁡α)22g=20220=20 mH=\dfrac{(v_0\sin\alpha)^{2}}{2g}=\dfrac{20^{2}}{20}=20\ \text{m}.

Exercice 3

Difficile
Un projectile est lancé depuis l'origine avec v0=20 m/sv_0=20\ \text{m/s} et α=45∘\alpha=45^{\circ} (g=10 m/s2g=10\ \text{m/s}^{2}, cos⁡245∘=0,5\cos^{2}45^{\circ}=0{,}5). Établir l'équation de la trajectoire et calculer la portée.
Voir la correction
y=−g2v02cos⁡2α x2+tan⁡α⋅x=−102×400×0,5 x2+1⋅x=−0,025 x2+xy=-\dfrac{g}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha}\,x^{2}+\tan\alpha\cdot x=-\dfrac{10}{2\times 400\times 0{,}5}\,x^{2}+1\cdot x=-0{,}025\,x^{2}+x. La portée est la solution non nulle de y=0y=0 : −0,025 x+1=0-0{,}025\,x+1=0, soit x=10,025=40 mx=\dfrac{1}{0{,}025}=40\ \text{m}.

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Questions fréquentes

Pourquoi la trajectoire d'un projectile est-elle une parabole ?

Parce que x croît linéairement avec le temps (MRU) tandis que y est une fonction du second degré du temps (chute libre). En éliminant t, y devient une fonction du second degré de x : une parabole.

Le mouvement horizontal est-il vraiment uniforme ?

Oui, tant qu'on néglige les frottements de l'air : aucune force horizontale, donc a_x = 0 et la vitesse horizontale reste constante.

Pour quel angle la portée est-elle maximale ?

Pour α = 45° (tir depuis le sol, sans frottement) : la portée vaut alors v₀²/g.

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