Dipôle RC — Cours Physique Bac SVT

Dans le programme du Bac SVT

Coefficient 5 en Bac SVT, derrière les Mathématiques et la SVT (coefficient 7). Programme allégé en 23 chapitres : dipôles RC et RL, oscillations libres RLC, lois de Newton, chute libre, mouvements plans et oscillateurs mécaniques — sans RLC en régime sinusoïdal forcé, satellites, rotation ni particules chargées. Le dipôle RC introduit le régime transitoire, repris pour le dipôle RL puis le circuit RLC.

À l'épreuve

Établissement de l'équation différentielle de $u_C$, identification de la solution $u_C(t)=E(1-e^{-t/\tau})$ ou $E\,e^{-t/\tau}$, calcul et exploitation de $\tau=RC$ (méthode des $63\%$ / $37\%$, tangente à l'origine), détermination de $R$ ou $C$, énergie stockée $\tfrac12 C u_C^{2}$.

Objectifs d'apprentissage

Décrire la charge et la décharge d'un condensateur
Établir et reconnaître la loi u_C(t) en régime transitoire
Calculer la constante de temps τ = RC et l'exploiter graphiquement
Décrire le régime permanent (u_C = E, i = 0)
Calculer l'énergie emmagasinée E_C = ½·C·u_C²

Notions clés

Charge et décharge

Charge (échelon

E

) :

u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)

. Décharge :

u_C(t)=E\,e^{-t/\tau}

. L'intensité vaut

i=C\dfrac{du_C}{dt}

Constante de temps

\tau=RC

(en s). À

t=\tau

u_C

a atteint

63\%

de sa valeur finale (charge) ou en a perdu

63\%

(décharge). Le régime permanent est pratiquement atteint pour

t\approx 5\tau

Régime permanent et énergie

En régime permanent,

u_C=E

i=0

(le condensateur est chargé, plus aucun courant). Énergie emmagasinée :

E_C=\tfrac12\,C\,u_C^{2}

Association de condensateurs

En série, les condensateurs portent la même charge

q

et leurs tensions s'additionnent :

\dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}

. La capacité équivalente est plus petite que la plus petite des capacités. En parallèle (en dérivation), ils sont soumis à la même tension et leurs charges s'additionnent :

C_{eq} = C_1 + C_2

. Exemple : avec

C_1 = 2\,\mu F

C_2 = 3\,\mu F

, on obtient

C_{eq} = 1{,}2\,\mu F

en série et

5\,\mu F

en parallèle. L'association change la constante de temps du circuit :

\tau = R\,C_{eq}

Charge, tension et intensité d'un condensateur

En convention récepteur, la charge

q

de l'armature qui reçoit le courant est proportionnelle à la tension à ses bornes :

q = C\,u_C

, où

C

est la capacité en farads (F). L'intensité est le débit de charge :

i = \dfrac{dq}{dt}

, d'où

i = C\dfrac{du_C}{dt}

puisque

C

est constante. Conséquence : la tension aux bornes d'un condensateur varie toujours de façon continue (elle ne peut pas sauter brusquement), alors que l'intensité peut changer instantanément, par exemple à la fermeture de l'interrupteur.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir R (kΩ) et C (µF) en unités SI avant de calculer τ.

Écrire u_C(t) = E·e^(−t/τ) pour une charge (c'est E(1 − e^(−t/τ))).

Croire qu'un courant circule encore dans le condensateur en régime permanent.

Confondre la constante de temps τ et la durée du régime transitoire (≈ 5τ).

Exemple corrigé

Énoncé

Un condensateur

C=4{,}7\ \mu\text{F}

se charge à travers

R=10\ \text{k}\Omega

sous

E=6{,}0\ \text{V}

. Calculer la constante de temps, la tension

u_C

t=\tau

, et la valeur finale de

u_C

Correction

Constante de temps.

\tau=RC=10\times 10^{3}\times 4{,}7\times 10^{-6}=4{,}7\times 10^{-2}\ \text{s}=47\ \text{ms}

Tension à $t=\tau$ .

u_C(\tau)=E\left(1-e^{-1}\right)=6{,}0\times 0{,}63\approx 3{,}8\ \text{V}

Valeur finale. Pour

t\gg\tau

(environ

5\tau\approx 0{,}24\ \text{s}

u_C\to E=6{,}0\ \text{V}

i\to 0

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Calculer la constante de temps d'un dipôle RC avec

R=2{,}0\ \text{k}\Omega

C=10\ \mu\text{F}

Voir la correction

\tau=RC=2{,}0\times 10^{3}\times 10\times 10^{-6}=2{,}0\times 10^{-2}\ \text{s}=20\ \text{ms}

Exercice 2

Moyen

Un condensateur chargé sous

12\ \text{V}

se décharge avec

\tau=50\ \text{ms}

. Calculer

u_C

t=100\ \text{ms}

Voir la correction

u_C(t)=12\,e^{-t/\tau}=12\,e^{-100/50}=12\,e^{-2}\approx 12\times 0{,}135\approx 1{,}6\ \text{V}

Exercice 3

Difficile

On mesure

\tau=0{,}15\ \text{s}

pour un dipôle RC de résistance

R=30\ \text{k}\Omega

. Déterminer

C

, puis l'énergie emmagasinée en régime permanent sous

E=10\ \text{V}

Voir la correction

C=\dfrac{\tau}{R}=\dfrac{0{,}15}{30\times 10^{3}}=5{,}0\times 10^{-6}\ \text{F}=5{,}0\ \mu\text{F}

. Énergie :

E_C=\tfrac12 C E^{2}=0{,}5\times 5{,}0\times 10^{-6}\times 10^{2}=2{,}5\times 10^{-4}\ \text{J}

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Questions fréquentes

Que représente la constante de temps τ ?

La durée caractéristique du régime transitoire : à t = τ, la grandeur a effectué 63 % de son évolution. Le régime permanent est atteint après environ 5τ.

Pourquoi le courant est-il nul en régime permanent ?

Une fois le condensateur chargé (u_C = E), la tension ne varie plus, donc i = C·du_C/dt = 0.

Comment déterminer τ sur une courbe ?

La tangente à l'origine coupe l'asymptote à l'instant t = τ ; ou bien on lit l'instant où u_C atteint 63 % de sa valeur finale (charge) ou 37 % de sa valeur initiale (décharge).