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Mathématiques · Bac SVT · Coefficient 7

Suites numériques — Cours Maths Bac SVT

Récurrence, suites arithmétiques et géométriques, et l'étude des suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ) : bornes, monotonie, convergence vers un point fixe.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SVT

Coefficient 7 en Bac SVT, à égalité avec la SVT : ce sont les deux matières les plus lourdes de la filière. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres — analyse, nombres complexes, géométrie dans l'espace et probabilités — sans arithmétique ni structures algébriques. Les suites sont le premier chapitre où la rédaction d'une récurrence est notée pour elle-même ; elles reviennent avec le logarithme, l'exponentielle et les intégrales.

À l'épreuve

Une suite définie par uₙ₊₁ = f(uₙ), qu'on encadre par récurrence, dont on étudie la monotonie (signe de uₙ₊₁ − uₙ), puis on conclut par le théorème de la limite monotone ; la limite se calcule par ℓ = f(ℓ). Souvent, une suite auxiliaire géométrique permet d'expliciter uₙ.

Objectifs d'apprentissage

  • Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique et calculer terme général et sommes
  • Rédiger une démonstration par récurrence (initialisation, hérédité, conclusion)
  • Encadrer une suite récurrente et étudier son sens de variation
  • Appliquer le théorème de la limite monotone et calculer la limite par ℓ = f(ℓ)
  • Utiliser une suite auxiliaire (wₙ = uₙ − ℓ) pour expliciter uₙ

Notions clés

Arithmétique et géométrique

Arithmétique de raison rr : un=u0+nru_n=u_0+nr,   ∑k=0n−1uk=n(u0+un−1)2\;\sum_{k=0}^{n-1}u_k=\dfrac{n(u_0+u_{n-1})}{2}. Géométrique de raison qq : un=u0qnu_n=u_0q^n,   ∑k=0n−1uk=u01−qn1−q\;\sum_{k=0}^{n-1}u_k=u_0\dfrac{1-q^n}{1-q} (q≠1q\neq 1). qn→0q^n\to 0 si ∣q∣<1|q|<1.

Récurrence

Pour montrer P(n)P(n) pour tout n≥n0n\ge n_0 : initialisation (P(n0)P(n_0) vraie), hérédité (P(n)⇒P(n+1)P(n)\Rightarrow P(n+1)), conclusion.

Limite monotone

Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Si ff est continue en ℓ\ell, alors ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell).

Suite auxiliaire

Si un+1=a un+bu_{n+1}=a\,u_n+b avec a≠1a\neq 1, la suite wn=un−ℓw_n=u_n-\ell où ℓ=b1−a\ell=\dfrac{b}{1-a} est géométrique de raison aa : on explicite wnw_n, puis unu_n.

Erreurs fréquentes

1
Oublier l'initialisation dans une récurrence.
2
Annoncer la limite d'une suite récurrente sans avoir prouvé la convergence.
3
Utiliser dans l'hérédité une propriété non encore établie.
4
Confondre « majorée » et « convergente ».

Exemple corrigé

Énoncé

Soit (un)(u_n) : u0=0u_0=0 et un+1=2un+3u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}. Montrer que (un)(u_n) converge et calculer sa limite.

Correction

Encadrement. Récurrence : 0≤un≤30\le u_n\le 3. Init. u0=0∈[0,3]u_0=0\in[0,3]. Hérédité : si 0≤un≤30\le u_n\le 3, alors 3≤2un+3≤93\le 2u_n+3\le 9, donc 3≤un+1≤3\sqrt{3}\le u_{n+1}\le 3, en particulier 0≤un+1≤30\le u_{n+1}\le 3.
Monotonie. un+1−un=2un+3−unu_{n+1}-u_n=\sqrt{2u_n+3}-u_n. Sur [0,3][0,3] : 2x+3≥x  ⟺  2x+3≥x2  ⟺  x2−2x−3≤0  ⟺  (x−3)(x+1)≤0\sqrt{2x+3}\ge x \iff 2x+3\ge x^2 \iff x^2-2x-3\le 0 \iff (x-3)(x+1)\le 0, vrai. Donc (un)(u_n) est croissante.
Convergence. Croissante et majorée par 33 ⇒\Rightarrow (un)(u_n) converge vers ℓ∈[0,3]\ell\in[0,3].
Limite. x↦2x+3x\mapsto\sqrt{2x+3} continue, donc ℓ=2ℓ+3\ell=\sqrt{2\ell+3}, soit ℓ2−2ℓ−3=0\ell^2-2\ell-3=0 avec ℓ≥0\ell\ge 0 : ℓ=3\ell=3.

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
(un)(u_n) est arithmétique de premier terme u0=2u_0=2 et de raison r=5r=5. Calculer u10u_{10} et S=u0+u1+⋯+u10S=u_0+u_1+\dots+u_{10}.
Voir la correction
u10=u0+10r=2+50=52u_{10}=u_0+10r=2+50=52. S=11(u0+u10)2=11(2+52)2=11×27=297S=\dfrac{11(u_0+u_{10})}{2}=\dfrac{11(2+52)}{2}=11\times 27=297.

Exercice 2

Moyen
v0=3v_0=3 et vn+1=3vn−4v_{n+1}=3v_n-4. On pose wn=vn−2w_n=v_n-2. Montrer que (wn)(w_n) est géométrique, en déduire vnv_n et sa limite.
Voir la correction
wn+1=3vn−4−2=3(vn−2)=3wnw_{n+1}=3v_n-4-2=3(v_n-2)=3w_n : (wn)(w_n) est géométrique de raison 33, w0=1w_0=1. Donc wn=3nw_n=3^n et vn=2+3nv_n=2+3^n, qui tend vers +∞+\infty.

Exercice 3

Difficile
u0=1u_0=1 et un+1=un1+unu_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}. Montrer que un>0u_n>0, puis que (1un)\left(\dfrac{1}{u_n}\right) est arithmétique. En déduire unu_n et lim⁡un\lim u_n.
Voir la correction
Par récurrence un>0u_n>0 (si un>0u_n>0 alors un+1=un1+un>0u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}>0). Alors 1un+1=1+unun=1un+1\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1+u_n}{u_n}=\dfrac{1}{u_n}+1 : (1un)\left(\frac{1}{u_n}\right) est arithmétique de raison 11, de premier terme 1u0=1\frac{1}{u_0}=1. Donc 1un=1+n\dfrac{1}{u_n}=1+n, soit un=1n+1u_n=\dfrac{1}{n+1}, qui tend vers 00.

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Questions fréquentes

Comment démontrer qu'une suite récurrente converge ?

On l'encadre par récurrence, on montre qu'elle est monotone (signe de uₙ₊₁ − uₙ), puis on applique le théorème de la limite monotone. La limite se trouve en résolvant ℓ = f(ℓ).

Quand introduire une suite auxiliaire ?

Quand uₙ₊₁ = a·uₙ + b (a ≠ 1) : wₙ = uₙ − ℓ, avec ℓ = b/(1−a), est géométrique de raison a. On explicite wₙ puis uₙ. On peut aussi passer par 1/uₙ ou uₙ².

Une suite bornée est-elle convergente ?

Pas nécessairement (exemple : uₙ = (−1)ⁿ). Il faut la monotonie en plus : une suite croissante majorée, ou décroissante minorée, converge.

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