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Mathématiques · Bac SVT · Coefficient 7

Limites et continuité — Cours Maths Bac SVT

Le premier chapitre d'analyse : calculer une limite, lever une forme indéterminée, déterminer les asymptotes d'une courbe et exploiter la continuité, notamment le TVI.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SVT

Coefficient 7 en Bac SVT, à égalité avec la SVT : ce sont les deux matières les plus lourdes de la filière. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres — analyse, nombres complexes, géométrie dans l'espace et probabilités — sans arithmétique ni structures algébriques. Les limites ouvrent le bloc d'analyse, réinvesti dans l'étude des fonctions, le logarithme, l'exponentielle et le calcul intégral.

À l'épreuve

Presque toujours à l'intérieur d'une étude de fonction (branches infinies, asymptotes). La continuité sert à justifier, via le TVI puis la stricte monotonie, l'existence et l'unicité d'une solution de f(x) = 0, souvent suivie d'un encadrement.

Objectifs d'apprentissage

  • Calculer une limite finie ou infinie à partir des limites usuelles et des opérations
  • Lever les formes indéterminées 0/0, ∞/∞, ∞−∞, 0×∞ par factorisation ou quantité conjuguée
  • Déterminer les asymptotes verticale, horizontale et oblique d'une courbe
  • Étudier la continuité en un point et sur un intervalle, reconnaître un prolongement par continuité
  • Appliquer le TVI pour justifier l'existence et l'unicité d'une solution de f(x) = k

Notions clés

Limites usuelles et opérations

lim⁡x→+∞xn=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty, lim⁡x→+∞1xn=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^n}=0, lim⁡x→0+1x=+∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty. Pour une fonction rationnelle, la limite en ±∞\pm\infty est celle du quotient des termes de plus haut degré.

Formes indéterminées

Quatre cas : 00\tfrac{0}{0}, ∞∞\tfrac{\infty}{\infty}, ∞−∞\infty-\infty, 0×∞0\times\infty. On factorise par le terme dominant, on multiplie par la quantité conjuguée (racines), ou on reconnaît un taux d'accroissement.

Asymptotes

Verticale x=ax=a si lim⁡x→af=±∞\lim_{x\to a}f=\pm\infty. Horizontale y=ℓy=\ell si lim⁡±∞f=ℓ\lim_{\pm\infty}f=\ell. Oblique y=ax+by=ax+b si lim⁡±∞(f(x)−(ax+b))=0\lim_{\pm\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0.

Théorème des valeurs intermédiaires

Si ff est continue sur [a,b][a,b] et kk entre f(a)f(a) et f(b)f(b), alors f(x)=kf(x)=k a au moins une solution. Si de plus ff est strictement monotone, la solution est unique.

Erreurs fréquentes

1

Écrire « ∞ − ∞ = 0 » : c'est une forme indéterminée, il faut factoriser ou conjuguer.

2

Appliquer le TVI sans avoir vérifié la continuité sur tout l'intervalle.

3

Conclure à l'unicité sans la stricte monotonie.

4

Confondre asymptote oblique et branche parabolique.

Exemple corrigé

Énoncé

Calculer lim⁡x→+∞(2x−4x2+x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(2x-\sqrt{4x^2+x}\big) puis lim⁡x→3x2−9x2−2x−3\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x^2-2x-3}.

Correction

Première limite. Forme ∞−∞\infty-\infty. Conjuguée : 2x−4x2+x=4x2−(4x2+x)2x+4x2+x=−x2x+4x2+x2x-\sqrt{4x^2+x}=\dfrac{4x^2-(4x^2+x)}{2x+\sqrt{4x^2+x}}=\dfrac{-x}{2x+\sqrt{4x^2+x}}.
Pour x>0x>0, on factorise par xx : −xx(2+4+1x)=−12+4+1x→x→+∞−14\dfrac{-x}{x\big(2+\sqrt{4+\frac{1}{x}}\big)}=\dfrac{-1}{2+\sqrt{4+\frac{1}{x}}}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\dfrac{-1}{4}.
Seconde limite. Forme 00\tfrac{0}{0}. x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9=(x-3)(x+3) et x2−2x−3=(x−3)(x+1)x^2-2x-3=(x-3)(x+1).
Pour x≠3x\neq 3 : x2−9x2−2x−3=x+3x+1→x→364=32\dfrac{x^2-9}{x^2-2x-3}=\dfrac{x+3}{x+1}\xrightarrow[x\to 3]{}\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Calculer lim⁡x→+∞4x3−x2x3+5\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4x^3-x}{2x^3+5} et lim⁡x→+∞2x+1x2+1\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x+1}{x^2+1}.
Voir la correction
Quotient des termes dominants : 4x32x3→2\dfrac{4x^3}{2x^3}\to 2 ; 2xx2=2x→0\dfrac{2x}{x^2}=\dfrac{2}{x}\to 0.

Exercice 2

Moyen
Déterminer l'asymptote oblique de g(x)=2x2−1x−2g(x)=\dfrac{2x^2-1}{x-2}.
Voir la correction
Division : 2x2−1=(x−2)(2x+4)+72x^2-1=(x-2)(2x+4)+7, donc g(x)=2x+4+7x−2g(x)=2x+4+\dfrac{7}{x-2}. Comme 7x−2→0\dfrac{7}{x-2}\to 0 en ±∞\pm\infty, la droite y=2x+4y=2x+4 est asymptote oblique.

Exercice 3

Difficile
Montrer que l'équation x3+2x−5=0x^3+2x-5=0 admet une unique solution réelle α\alpha, avec 1<α<21<\alpha<2.
Voir la correction
h(x)=x3+2x−5h(x)=x^3+2x-5 est continue et dérivable, h′(x)=3x2+2>0h'(x)=3x^2+2>0 : hh est strictement croissante, donc réalise une bijection de R\mathbb{R} sur R\mathbb{R}. L'équation h(x)=0h(x)=0 a donc une unique solution α\alpha. h(1)=1+2−5=−2<0h(1)=1+2-5=-2<0 et h(2)=8+4−5=7>0h(2)=8+4-5=7>0, donc 1<α<21<\alpha<2.

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Questions fréquentes

Limite d'une fonction rationnelle en l'infini ?

On garde le quotient des termes de plus haut degré. Degrés égaux : quotient des coefficients dominants ; numérateur de degré plus grand : ±∞ ; plus petit : 0.

À quoi sert le TVI en Bac SVT ?

Surtout à prouver qu'une équation f(x) = 0 possède une solution sur un intervalle, avant d'en donner un encadrement ou une valeur approchée par balayage.

Continue et dérivable, quelle différence ?

Toute fonction dérivable en un point y est continue ; la réciproque est fausse. On justifie la continuité avant un TVI, la dérivabilité avant d'étudier les variations.

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