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Mathématiques · Bac SVT · Coefficient 7

Géométrie dans l'espace — Cours Maths Bac SVT

Le repère de l'espace : produit scalaire, équation d'un plan, distance d'un point à un plan, représentation d'une droite, sphère et positions relatives.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SVT

Coefficient 7 en Bac SVT, à égalité avec la SVT : ce sont les deux matières les plus lourdes de la filière. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres — analyse, nombres complexes, géométrie dans l'espace et probabilités — sans arithmétique ni structures algébriques. La géométrie dans l'espace remplace l'arithmétique et les structures algébriques des filières SM : c'est le chapitre non analytique du programme.

À l'épreuve

L'exercice de géométrie de l'épreuve : établir l'équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal, calculer une distance point-plan, déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan, et étudier une sphère (centre, rayon, plan tangent).

Objectifs d'apprentissage

  • Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormé et tester l'orthogonalité
  • Déterminer l'équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal
  • Calculer la distance d'un point à un plan
  • Écrire une représentation paramétrique de droite et étudier une intersection droite/plan
  • Reconnaître l'équation d'une sphère (centre, rayon) et étudier ses positions relatives

Notions clés

Produit scalaire

Dans un repère orthonormé, u⃗(x,y,z)⋅v⃗(x′,y′,z′)=xx′+yy′+zz′\vec{u}(x,y,z)\cdot\vec{v}(x',y',z')=xx'+yy'+zz'. ∥u⃗∥=x2+y2+z2\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v \iff \vec u\cdot\vec v=0.

Équation d'un plan

Le plan passant par A(xA,yA,zA)A(x_A,y_A,z_A) de vecteur normal n⃗(a,b,c)\vec n(a,b,c) a pour équation a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0, soit ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0.

Distance point-plan

Pour P: ax+by+cz+d=0P:\,ax+by+cz+d=0 et M(xM,yM,zM)M(x_M,y_M,z_M) :   d(M,P)=∣axM+byM+czM+d∣a2+b2+c2\;d(M,P)=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

Droite et sphère

Droite passant par AA de vecteur directeur u⃗\vec u : M(x,y,z)M(x,y,z) avec AM→=t u⃗\overrightarrow{AM}=t\,\vec u, t∈Rt\in\mathbb{R}. Sphère de centre Ω(a,b,c)\Omega(a,b,c) et rayon RR : (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.

Erreurs fréquentes

1

Prendre le vecteur normal dans le mauvais sens en écrivant l'équation d'un plan (les coefficients a, b, c sont ceux de n⃗).

2

Oublier la valeur absolue au numérateur de la distance point-plan.

3

Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan.

4

Écrire une sphère sous forme développée sans repérer que a, b, c sont les opposés des demi-coefficients de x, y, z.

Exemple corrigé

Énoncé

Soit PP le plan passant par A(1,0,2)A(1,0,2) de vecteur normal n⃗(2,−1,3)\vec n(2,-1,3). Donner une équation cartésienne de PP, puis la distance de O(0,0,0)O(0,0,0) à PP.

Correction

Équation. 2(x−1)−1(y−0)+3(z−2)=02(x-1)-1(y-0)+3(z-2)=0, soit 2x−y+3z−8=02x-y+3z-8=0.
Vérification. A(1,0,2)A(1,0,2) : 2(1)−0+3(2)−8=2+6−8=02(1)-0+3(2)-8=2+6-8=0 ✓.
Distance. d(O,P)=∣2(0)−1(0)+3(0)−8∣22+(−1)2+32=814d(O,P)=\dfrac{|2(0)-1(0)+3(0)-8|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}}=\dfrac{8}{\sqrt{14}}.
Soit d(O,P)=81414=4147≈2,14d(O,P)=\dfrac{8\sqrt{14}}{14}=\dfrac{4\sqrt{14}}{7}\approx 2{,}14.

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Exercice 1

Facile
Les vecteurs u⃗(1,2,−1)\vec u(1,2,-1) et v⃗(3,−1,1)\vec v(3,-1,1) sont-ils orthogonaux ?
Voir la correction
u⃗⋅v⃗=1×3+2×(−1)+(−1)×1=3−2−1=0\vec u\cdot\vec v=1\times 3+2\times(-1)+(-1)\times 1=3-2-1=0. Ils sont orthogonaux.

Exercice 2

Moyen
Déterminer l'équation de la sphère de centre Ω(1,−2,0)\Omega(1,-2,0) passant par A(3,0,1)A(3,0,1).
Voir la correction
R2=ΩA2=(3−1)2+(0−(−2))2+(1−0)2=4+4+1=9R^2=\Omega A^2=(3-1)^2+(0-(-2))^2+(1-0)^2=4+4+1=9, donc R=3R=3. Équation : (x−1)2+(y+2)2+z2=9(x-1)^2+(y+2)^2+z^2=9.

Exercice 3

Difficile
Déterminer l'intersection de la droite (D): (x,y,z)=(1+t, 2−t, 3t)(D):\ (x,y,z)=(1+t,\ 2-t,\ 3t) avec le plan P: x+y+z−6=0P:\ x+y+z-6=0.
Voir la correction
On remplace : (1+t)+(2−t)+3t−6=0  ⟺  3+3t−6=0  ⟺  t=1(1+t)+(2-t)+3t-6=0 \iff 3+3t-6=0 \iff t=1. Le point d'intersection est (1+1, 2−1, 3)=(2,1,3)(1+1,\ 2-1,\ 3)=(2,1,3). Vérification : 2+1+3−6=02+1+3-6=0 ✓. La droite et le plan sont sécants en ce point unique.

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Questions fréquentes

Comment trouver l'équation d'un plan ?

Il faut un point A du plan et un vecteur normal n⃗(a, b, c). L'équation est a(x − x_A) + b(y − y_A) + c(z − z_A) = 0. Le vecteur normal peut venir d'un produit vectoriel de deux vecteurs du plan.

À quoi sert la distance d'un point à un plan ?

À déterminer si un plan est tangent à une sphère (distance du centre au plan = rayon), à calculer un volume, ou à trouver le projeté orthogonal d'un point.

Comment étudier l'intersection d'une droite et d'un plan ?

On injecte la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan : une valeur de t donne un point unique (sécants), aucune valeur signifie parallèles, une identité signifie que la droite est incluse dans le plan.

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