OrkaOrka/Bac/Sciences de la Vie et de la Terre (SVT)
Mathématiques · Bac SVT · Coefficient 7

Fonctions logarithmiques — Cours Maths Bac SVT

La fonction ln : règles de calcul, limites et croissances comparées, dérivée d'un logarithme composé, et étude de fonctions faisant intervenir ln.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SVT

Coefficient 7 en Bac SVT, à égalité avec la SVT : ce sont les deux matières les plus lourdes de la filière. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres — analyse, nombres complexes, géométrie dans l'espace et probabilités — sans arithmétique ni structures algébriques. Le logarithme et l'exponentielle forment le cœur analytique de l'épreuve : au moins un des deux problèmes porte sur une fonction les combinant.

À l'épreuve

Étude complète d'une fonction du type x ↦ x − 2 ln x ou x ↦ 2 ln x − x + 1 : domaine, limites (croissances comparées), dérivée, tableau, extremum, tracé ; parfois une équation avec ln résolue par étude de fonction.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(aⁿ) = n ln a
  • Résoudre une équation ou une inéquation avec ln après avoir fixé le domaine
  • Connaître les limites : ln x → +∞ (lentement), (ln x)/x → 0, x ln x → 0⁺
  • Dériver un logarithme composé : (ln u)′ = u′/u
  • Mener l'étude complète d'une fonction contenant ln

Notions clés

Définition et propriétés

ln⁡\ln est la primitive de x↦1xx\mapsto\frac1x sur ]0,+∞[]0,+\infty[ qui s'annule en 11. ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a+\ln b, ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b, ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n)=n\ln a. ln⁡1=0\ln 1=0, ln⁡e=1\ln e=1.

Variation et limites

ln⁡\ln est strictement croissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[. lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty, lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty.

Croissances comparées

lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0, lim⁡x→0+xln⁡x=0\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0, lim⁡x→1ln⁡xx−1=1\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln x}{x-1}=1.

Dérivée

(ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac1x et, pour u>0u>0 dérivable, (ln⁡u)′=u′u(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}. Une primitive de u′u\dfrac{u'}{u} est ln⁡∣u∣\ln|u|.

Erreurs fréquentes

1

Résoudre une équation avec ln sans fixer d'abord le domaine.

2

Écrire ln(a + b) = ln a + ln b : faux.

3

Négliger les croissances comparées et déclarer « +∞ − ∞ » sans lever la forme.

4

Dériver ln(u) en 1/u en oubliant le facteur u′.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} : ln⁡x+ln⁡(x−3)=ln⁡4\ln x+\ln(x-3)=\ln 4.

Correction

Domaine. x>0x>0 et x−3>0x-3>0, donc x>3x>3.
Regroupement. ln⁡(x(x−3))=ln⁡4\ln\big(x(x-3)\big)=\ln 4, donc x(x−3)=4x(x-3)=4.
Résolution. x2−3x−4=0  ⟺  (x−4)(x+1)=0  ⟺  x=4x^2-3x-4=0 \iff (x-4)(x+1)=0 \iff x=4 ou x=−1x=-1.
Domaine. x=4>3x=4>3 (retenue) ; x=−1<3x=-1<3 (rejetée). S={4}S=\{4\}.

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices illimités et des examens blancs corrigés sur tout le programme de Mathématiques du Bac SVT, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre.

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Résoudre dans R\mathbb{R} : ln⁡(3x−1)=ln⁡(x+5)\ln(3x-1)=\ln(x+5).
Voir la correction
Domaine : x>13x>\tfrac13. L'équation équivaut à 3x−1=x+53x-1=x+5, soit x=3x=3. Comme 3>133>\tfrac13, S={3}S=\{3\}.

Exercice 2

Moyen
Calculer lim⁡x→+∞ln⁡xx\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} et lim⁡x→0+x2ln⁡x\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x.
Voir la correction
ln⁡xx=2ln⁡xx=2⋅ln⁡tt\dfrac{\ln x}{\sqrt x}=\dfrac{2\ln\sqrt x}{\sqrt x}=2\cdot\dfrac{\ln t}{t} avec t=x→+∞t=\sqrt x\to+\infty, donc la limite est 00. Par croissance comparée, lim⁡x→0+x2ln⁡x=0\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x=0.

Exercice 3

Difficile
Soit f(x)=x−2ln⁡xf(x)=x-2\ln x sur ]0;+∞[]0;+\infty[. Étudier ses variations et en déduire que x>2ln⁡xx>2\ln x pour tout x>0x>0.
Voir la correction
lim⁡x→0+f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty et lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty (car xx l'emporte). f′(x)=1−2x=x−2xf'(x)=1-\dfrac{2}{x}=\dfrac{x-2}{x} : ff décroît sur ]0,2]]0,2], croît sur [2,+∞[[2,+\infty[, minimum f(2)=2−2ln⁡2≈0,61>0f(2)=2-2\ln 2\approx 0{,}61>0. Donc f(x)>0f(x)>0 pour tout x>0x>0, c'est-à-dire x>2ln⁡xx>2\ln x.

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation avec des logarithmes ?

On fixe le domaine (chaque argument > 0), on regroupe les ln en un seul de chaque côté, on identifie les arguments, on résout, puis on garde les solutions du domaine.

Que signifie « croissance comparée » ?

À l'infini, x l'emporte sur ln x : (ln x)/x → 0. C'est ce qui permet de lever des formes indéterminées contenant un logarithme.

Le logarithme sert-il en SVT ?

Oui, comme échelle : le pH est −log[H₃O⁺], et de nombreux modèles biologiques s'expriment en échelle logarithmique. L'épreuve de mathématiques l'évalue toutefois pour lui-même (étude de fonction, limites, dérivée).

À lire aussi

Fonctions exponentielles — Bac SVTDérivation et étude des fonctions — Bac SVTProgramme de Mathématiques Bac SVT