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Mathématiques · Bac SVT · Coefficient 7

Dérivation et étude des fonctions — Cours Maths Bac SVT

Dériver (y compris une composée et une réciproque), tracer une tangente, dresser un tableau de variations et lire la convexité d'une courbe.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SVT

Coefficient 7 en Bac SVT, à égalité avec la SVT : ce sont les deux matières les plus lourdes de la filière. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres — analyse, nombres complexes, géométrie dans l'espace et probabilités — sans arithmétique ni structures algébriques. La dérivation est réinvestie dans tous les chapitres suivants ; l'étude complète d'une fonction (souvent avec logarithme ou exponentielle) est le cœur d'un des deux problèmes.

À l'épreuve

Un problème type demande le domaine, les limites et branches infinies, le calcul et le signe de f′, le tableau de variations, une tangente, l'étude de la convexité via f″, puis le tracé et l'exploitation graphique (nombre de solutions de f(x) = m).

Objectifs d'apprentissage

  • Dériver somme, produit, quotient et fonction composée (v∘u)′ = u′·(v′∘u)
  • Déterminer l'équation de la tangente : y = f′(a)(x − a) + f(a)
  • Étudier le signe de f′ et dresser un tableau de variations
  • Étudier la convexité par le signe de f″ et repérer les points d'inflexion
  • Calculer la dérivée d'une réciproque : (f⁻¹)′(y) = 1 / f′(x) avec x = f⁻¹(y)

Notions clés

Règles de dérivation

(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv', (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, (v∘u)′=u′×(v′∘u)(v\circ u)'=u'\times(v'\circ u). En particulier (u)′=u′2u(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}, (un)′=nu′un−1(u^n)'=nu'u^{n-1}.

Tangente

Équation en aa : y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a). Le signe de f(x)−[f′(a)(x−a)+f(a)]f(x)-\big[f'(a)(x-a)+f(a)\big] donne la position locale de la courbe par rapport à sa tangente.

Sens de variation

f′>0⇒ff'>0 \Rightarrow f strictement croissante ; f′<0⇒ff'<0 \Rightarrow f strictement décroissante ; f′f' s'annule en changeant de signe ⇒\Rightarrow extremum local.

Convexité et réciproque

f′′>0f''>0 : convexe ; f′′<0f''<0 : concave ; f′′f'' change de signe : point d'inflexion. Si ff est une bijection dérivable avec f′≠0f'\neq 0 : (f−1)′(y)=1f′(x)(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}, y=f(x)y=f(x).

Erreurs fréquentes

1

Oublier le facteur u′ en dérivant une composée.

2

Conclure « f′(a) = 0 donc extremum » sans le changement de signe de f′.

3

Confondre variations (f′) et convexité (f″).

4

Écrire (f⁻¹)′(y) = 1/f′(y).

Exemple corrigé

Énoncé

Soit f(x)=x2+x+1x+1f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x+1} sur R∖{−1}\mathbb{R}\setminus\{-1\}. Étudier ses variations et donner l'asymptote oblique.

Correction

Forme réduite. x2+x+1=(x+1) x+1x^2+x+1=(x+1)\,x+1, donc f(x)=x+1x+1f(x)=x+\dfrac{1}{x+1}. La droite y=xy=x est asymptote oblique (en ±∞\pm\infty).
Dérivée. f′(x)=1−1(x+1)2=(x+1)2−1(x+1)2=x(x+2)(x+1)2f'(x)=1-\dfrac{1}{(x+1)^2}=\dfrac{(x+1)^2-1}{(x+1)^2}=\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}.
Signe. Dénominateur >0>0. f′f' a le signe de x(x+2)x(x+2) : f′>0f'>0 sur ]−∞,−2[]-\infty,-2[ et ]0,+∞[]0,+\infty[, f′<0f'<0 sur ]−2,−1[]-2,-1[ et ]−1,0[]-1,0[.
Variations. ff croît sur ]−∞,−2]]-\infty,-2], décroît jusqu'à 00 (en évitant −1-1), croît sur [0,+∞[[0,+\infty[. Maximum local f(−2)=−3f(-2)=-3, minimum local f(0)=1f(0)=1.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Soit f(x)=3x+2x−1f(x)=\dfrac{3x+2}{x-1}. Calculer f′f' et l'équation de la tangente en x=2x=2.
Voir la correction
f′(x)=3(x−1)−(3x+2)(x−1)2=−5(x−1)2f'(x)=\dfrac{3(x-1)-(3x+2)}{(x-1)^2}=\dfrac{-5}{(x-1)^2}. f(2)=8f(2)=8, f′(2)=−5f'(2)=-5. Tangente : y=−5(x−2)+8=−5x+18y=-5(x-2)+8=-5x+18.

Exercice 2

Moyen
Étudier la convexité de f(x)=x4−6x2f(x)=x^4-6x^2 et déterminer ses points d'inflexion.
Voir la correction
f′(x)=4x3−12xf'(x)=4x^3-12x, f′′(x)=12x2−12=12(x2−1)f''(x)=12x^2-12=12(x^2-1). f′′>0f''>0 sur ]−∞,−1[∪]1,+∞[]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[ (convexe), f′′<0f''<0 sur ]−1,1[]-1,1[ (concave). Points d'inflexion en x=±1x=\pm 1, f(±1)=1−6=−5f(\pm 1)=1-6=-5 : I1(−1;−5)I_1(-1;-5) et I2(1;−5)I_2(1;-5).

Exercice 3

Difficile
Soit f(x)=2x+1−1xf(x)=2x+1-\dfrac{1}{x} sur ]0;+∞[]0;+\infty[. Montrer que ff réalise une bijection de ]0;+∞[]0;+\infty[ sur R\mathbb{R} et calculer (f−1)′(2)(f^{-1})'(2).
Voir la correction
f′(x)=2+1x2>0f'(x)=2+\dfrac{1}{x^2}>0 : ff est continue et strictement croissante. lim⁡x→0+f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, donc ff est une bijection de ]0,+∞[]0,+\infty[ sur R\mathbb{R}. f(1)=2+1−1=2f(1)=2+1-1=2, donc f−1(2)=1f^{-1}(2)=1 et (f−1)′(2)=1f′(1)=13(f^{-1})'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{3}.

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Questions fréquentes

Comment trouver l'équation d'une tangente ?

y = f′(a)(x − a) + f(a). On calcule f(a) et f′(a). Tangente horizontale : f′(a) = 0.

À quoi sert l'étude de la convexité ?

À préciser l'allure de la courbe (au-dessus ou en dessous de ses tangentes), localiser les points d'inflexion et démontrer des inégalités.

La dérivée d'une réciproque est-elle au programme SVT ?

Oui : si f est une bijection dérivable de dérivée non nulle, (f⁻¹)′(y) = 1/f′(x) avec x = f⁻¹(y). On l'utilise après le théorème de la bijection.

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