OrkaOrka/Bac/Sciences de la Vie et de la Terre (SVT)
Mathématiques · Bac SVT · Coefficient 7

Fonctions exponentielles — Cours Maths Bac SVT

La fonction exp, réciproque de ln : règles de calcul, limites et croissances comparées, dérivée d'une exponentielle composée, équations par le changement X = eˣ.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SVT

Coefficient 7 en Bac SVT, à égalité avec la SVT : ce sont les deux matières les plus lourdes de la filière. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres — analyse, nombres complexes, géométrie dans l'espace et probabilités — sans arithmétique ni structures algébriques. Traitée juste après le logarithme, l'exponentielle est l'objet de l'autre problème d'analyse et apparaît dans les équations différentielles (y′ = ay ⇒ y = Ceᵃˣ).

À l'épreuve

Étude d'une fonction du type x ↦ (x − 1)eˣ ou x ↦ x − eˣ + 1 : limites avec croissances comparées, dérivée, tableau, tangente, tracé ; résolution d'une équation eᵃˣ + … = 0 par le changement X = eˣ ; démonstration d'une inégalité par étude de signe.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser exp comme réciproque de ln : eˡⁿ ᵃ = a, ln(eˣ) = x, eᵃ⁺ᵇ = eᵃ · eᵇ
  • Résoudre une équation exponentielle par le changement X = eˣ (X > 0)
  • Connaître les limites : eˣ → +∞, eˣ/x → +∞, x eˣ → 0 en −∞
  • Dériver une exponentielle composée : (eᵘ)′ = u′eᵘ
  • Démontrer une inégalité par étude de la fonction associée

Notions clés

Définition et propriétés

exp⁡\exp est la réciproque de ln⁡\ln : eln⁡a=ae^{\ln a}=a (a>0a>0), ln⁡(ex)=x\ln(e^x)=x. ea+b=eaebe^{a+b}=e^a e^b, e−a=1eae^{-a}=\frac{1}{e^a}, e0=1e^0=1, e1=ee^1=e.

Variation et limites

exp⁡\exp est strictement croissante et >0>0 sur R\mathbb{R}. lim⁡x→+∞ex=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty, lim⁡x→−∞ex=0+\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+.

Croissances comparées

lim⁡x→+∞exx=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty ; lim⁡x→−∞x ex=0\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^x=0 ; lim⁡x→0ex−1x=1\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1.

Dérivée

(ex)′=ex(e^x)'=e^x et (eu)′=u′eu(e^{u})'=u'e^{u}. exp⁡\exp est convexe, d'où ex≥1+xe^x\ge 1+x pour tout xx.

Erreurs fréquentes

1

Oublier la contrainte X = eˣ > 0 en résolvant par changement de variable.

2

Écrire eᵃ⁺ᵇ = eᵃ + eᵇ : faux, c'est le produit.

3

Confondre eˣ/x → +∞ (comparée) et une forme non levée.

4

Dériver e^(u) sans le facteur u′.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} : e2x−4ex+3=0e^{2x}-4e^{x}+3=0.

Correction

On pose X=exX=e^{x}, X>0X>0. L'équation devient X2−4X+3=0X^2-4X+3=0.
X2−4X+3=(X−1)(X−3)=0X^2-4X+3=(X-1)(X-3)=0, donc X=1X=1 ou X=3X=3 (toutes deux >0>0).
ex=1  ⟺  x=0e^{x}=1 \iff x=0 ; ex=3  ⟺  x=ln⁡3e^{x}=3 \iff x=\ln 3.
S={0, ln⁡3}S=\{0,\ \ln 3\}.

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices illimités et des examens blancs corrigés sur tout le programme de Mathématiques du Bac SVT, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre.

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Résoudre dans R\mathbb{R} : e3x−1=e2e^{3x-1}=e^{2}.
Voir la correction
Par stricte croissance de exp⁡\exp, 3x−1=23x-1=2, soit x=1x=1.

Exercice 2

Moyen
Calculer lim⁡x→+∞(x−1)ex\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x-1)e^{x} et lim⁡x→−∞(x2+1)ex\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^{x}.
Voir la correction
(x−1)ex→+∞(x-1)e^{x}\to+\infty (produit de deux facteurs tendant vers +∞+\infty). (x2+1)ex=x2ex+ex→0(x^2+1)e^{x}=x^2 e^{x}+e^{x}\to 0 par croissance comparée (x2ex→0x^2 e^{x}\to 0 en −∞-\infty).

Exercice 3

Difficile
Soit g(x)=(x−1)ex+1g(x)=(x-1)e^{x}+1. Étudier les variations de gg et en déduire que (x−1)ex≥−1(x-1)e^{x}\ge -1 pour tout xx.
Voir la correction
g′(x)=ex+(x−1)ex=x exg'(x)=e^{x}+(x-1)e^{x}=x\,e^{x}, du signe de xx. Donc gg décroît sur ]−∞,0]]-\infty,0], croît sur [0,+∞[[0,+\infty[, avec un minimum g(0)=(0−1)e0+1=0g(0)=(0-1)e^{0}+1=0. Ainsi g(x)≥0g(x)\ge 0 pour tout xx, c'est-à-dire (x−1)ex≥−1(x-1)e^{x}\ge -1.

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation exponentielle ?

Si elle est polynomiale en eˣ, on pose X = eˣ (X > 0), on résout en X, puis x = ln X pour chaque solution positive.

Pourquoi la croissance « exponentielle » est-elle si rapide ?

Parce que eˣ/xⁿ → +∞ pour tout n : l'exponentielle finit toujours par dépasser n'importe quelle puissance. C'est le modèle des croissances à taux constant (populations, désintégration en sens inverse).

exp et ln, quelle relation à l'examen ?

Ce sont des fonctions réciproques : on passe de l'une à l'autre pour résoudre équations et inéquations et pour transformer aˣ = e^(x ln a).

À lire aussi

Fonctions logarithmiques — Bac SVTÉquations différentielles — Bac SVTProgramme de Mathématiques Bac SVT