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Mathématiques · Bac SVT · Coefficient 7

Calcul intégral — Cours Maths Bac SVT

De la primitive à l'intégrale : propriétés, intégration par parties, valeur moyenne, aires, et l'étude d'une suite d'intégrales (Iₙ).

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SVT

Coefficient 7 en Bac SVT, à égalité avec la SVT : ce sont les deux matières les plus lourdes de la filière. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres — analyse, nombres complexes, géométrie dans l'espace et probabilités — sans arithmétique ni structures algébriques. Le calcul intégral clôt le bloc d'analyse et combine tout ce qui précède : primitives, logarithme, exponentielle, et souvent une suite définie par une intégrale.

À l'épreuve

Un calcul d'intégrale par parties, une relation de récurrence pour Iₙ = ∫ …, l'étude de la monotonie et de la limite de (Iₙ), et un calcul d'aire entre deux courbes.

Objectifs d'apprentissage

  • Relier intégrale et primitive : ∫ₐᵇ f(t) dt = F(b) − F(a)
  • Utiliser linéarité, relation de Chasles et positivité
  • Appliquer l'intégration par parties
  • Calculer une valeur moyenne et une aire
  • Étudier une suite d'intégrales (Iₙ) : signe, monotonie, encadrement, limite

Notions clés

Intégrale et primitive

Si FF est une primitive de ff continue sur [a,b][a,b] : ∫abf(t) dt=F(b)−F(a)=[F(t)]ab\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a)=\big[F(t)\big]_a^b.

Propriétés

Linéarité, Chasles (∫ac=∫ab+∫bc\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c), positivité (si f≥0f\ge 0 alors ∫abf≥0\int_a^b f\ge 0 ; si f≤gf\le g alors ∫abf≤∫abg\int_a^b f\le\int_a^b g).

Intégration par parties

∫abu′v dt=[uv]ab−∫abuv′ dt\displaystyle\int_a^b u'v\,dt=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b uv'\,dt. On choisit vv pour que v′v' simplifie l'intégrale (souvent v=tnv=t^n ou v=ln⁡tv=\ln t).

Valeur moyenne et aire

Valeur moyenne : μ=1b−a∫abf\mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f. Aire entre Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g (f≥gf\ge g) sur [a,b][a,b] : ∫ab(f−g) dt\int_a^b(f-g)\,dt.

Volume d'un solide de révolution

Si ff est continue sur [a;b][a ; b], la rotation de sa courbe autour de l'axe (Ox)(Ox) engendre un solide dont le volume vaut V=∫abπ f(x)2 dxV = \int_a^b \pi\,f(x)^2\,dx (en unités de volume). Exemple : pour f(x)=xf(x) = \sqrt{x} sur [0;4][0 ; 4], V=π∫04x dx=π[x22]04=8πV = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi. Avec f(x)=rf(x) = r constante sur [0;h][0 ; h], on retrouve le volume d'un cylindre, πr2h\pi r^2 h.

Erreurs fréquentes

1
Écrire ∫ fg = (∫ f)(∫ g).
2
Oublier le crochet [uv]ₐᵇ dans une intégration par parties.
3
Confondre « aire » et « intégrale » quand f change de signe.
4
Passer à la limite d'une suite (Iₙ) sans l'avoir encadrée.

Exemple corrigé

Énoncé

Calculer I=∫01(2x+1) ex dx\displaystyle I=\int_0^1(2x+1)\,e^{x}\,dx.

Correction

Intégration par parties : u′(x)=exu'(x)=e^{x}, v(x)=2x+1v(x)=2x+1, donc u(x)=exu(x)=e^{x}, v′(x)=2v'(x)=2.
I=[(2x+1)ex]01−∫012ex dxI=\big[(2x+1)e^{x}\big]_0^1-\displaystyle\int_0^1 2e^{x}\,dx.
[(2x+1)ex]01=3e−1\big[(2x+1)e^{x}\big]_0^1=3e-1 et ∫012ex dx=2[ex]01=2(e−1)\displaystyle\int_0^1 2e^{x}\,dx=2\big[e^{x}\big]_0^1=2(e-1).
I=(3e−1)−2(e−1)=e+1I=(3e-1)-2(e-1)=e+1.

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Calculer ∫01(2x+3) dx\displaystyle\int_0^1(2x+3)\,dx et ∫1e2t dt\displaystyle\int_1^{e}\dfrac{2}{t}\,dt.
Voir la correction
∫01(2x+3) dx=[x2+3x]01=4\displaystyle\int_0^1(2x+3)\,dx=\big[x^2+3x\big]_0^1=4. ∫1e2t dt=[2ln⁡t]1e=2\displaystyle\int_1^{e}\dfrac{2}{t}\,dt=\big[2\ln t\big]_1^{e}=2.

Exercice 2

Moyen
Calculer ∫01x e−x dx\displaystyle\int_0^1 x\,e^{-x}\,dx.
Voir la correction
IPP : u′(x)=e−xu'(x)=e^{-x}, v(x)=xv(x)=x, donc u(x)=−e−xu(x)=-e^{-x}, v′(x)=1v'(x)=1. ∫01xe−x dx=[−xe−x]01+∫01e−x dx=−e−1+[−e−x]01=−1e+(1−1e)=1−2e\displaystyle\int_0^1 x e^{-x}\,dx=\big[-x e^{-x}\big]_0^1+\int_0^1 e^{-x}\,dx=-e^{-1}+\big[-e^{-x}\big]_0^1=-\dfrac{1}{e}+\left(1-\dfrac{1}{e}\right)=1-\dfrac{2}{e}.

Exercice 3

Difficile
Pour n∈Nn\in\mathbb{N}, Jn=∫01tne−t dtJ_n=\displaystyle\int_0^1 t^{n}e^{-t}\,dt. Montrer que Jn=−1e+n Jn−1J_n=-\dfrac{1}{e}+n\,J_{n-1} pour n≥1n\ge 1, et calculer J0J_0, J1J_1, J2J_2.
Voir la correction
IPP : u′(t)=e−tu'(t)=e^{-t}, v(t)=tnv(t)=t^{n}, u(t)=−e−tu(t)=-e^{-t}. Jn=[−tne−t]01+∫01n tn−1e−t dt=−1e+n Jn−1J_n=\big[-t^{n}e^{-t}\big]_0^1+\displaystyle\int_0^1 n\,t^{n-1}e^{-t}\,dt=-\dfrac{1}{e}+n\,J_{n-1}. J0=∫01e−t dt=1−1eJ_0=\displaystyle\int_0^1 e^{-t}\,dt=1-\dfrac{1}{e}. J1=−1e+J0=1−2eJ_1=-\dfrac{1}{e}+J_0=1-\dfrac{2}{e}. J2=−1e+2J1=2−5eJ_2=-\dfrac{1}{e}+2J_1=2-\dfrac{5}{e}.

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Questions fréquentes

Quand utiliser l'intégration par parties ?

Quand l'intégrande est un produit dont un facteur se simplifie en dérivant (tⁿ, ln t) et l'autre s'intègre facilement (eᵗ, cos t). Elle sert aussi à établir une relation de récurrence pour une suite d'intégrales.

Comment calcule-t-on une aire ?

Aire sous C_f avec f ≥ 0 : ∫ₐᵇ f. Aire entre C_f et C_g avec f ≥ g : ∫ₐᵇ (f − g). Si le signe change, on découpe avec Chasles.

Comment étudier une suite (Iₙ) d'intégrales ?

Signe (positivité), monotonie (comparer les intégrandes), encadrement, puis limite. Une relation de récurrence obtenue par IPP facilite le calcul.

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