Fonctions primitives — Cours Maths Bac SVT

Q: Toute fonction admet-elle une primitive ?

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. C'est le résultat qui fonde le calcul intégral.

Q: Pourquoi « ln|x| » et pas « ln x » ?

1/x est défini pour x 0. Sur l'intervalle négatif, une primitive est ln(−x) ; l'écriture ln|x| couvre les deux cas.

Dans le programme du Bac SVT

Coefficient 7 en Bac SVT, à égalité avec la SVT : ce sont les deux matières les plus lourdes de la filière. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres — analyse, nombres complexes, géométrie dans l'espace et probabilités — sans arithmétique ni structures algébriques. Les primitives font le lien entre dérivation et calcul intégral : toute intégrale se calcule via une primitive.

À l'épreuve

Rarement pour elles-mêmes : on demande une primitive au détour d'un calcul d'intégrale ou d'une équation différentielle. La reconnaissance des formes u′/u et u′eᵘ est systématiquement testée.

Objectifs d'apprentissage

Utiliser la définition : F est une primitive de f si F′ = f
Connaître les primitives usuelles (puissances, 1/x, eˣ, sin, cos)
Reconnaître les formes u′uⁿ, u′/u, u′eᵘ, u′/√u
Exploiter l'unicité à une constante près
Déterminer la primitive vérifiant F(x₀) = y₀

Notions clés

Définition et unicité

F

est une primitive de

f

sur

I

F'=f

. Sur un intervalle, deux primitives diffèrent d'une constante : l'ensemble des primitives est

\{F+c,\ c\in\mathbb{R}\}

Primitives usuelles

x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}

(

n\neq-1

\dfrac1x\to\ln|x|

e^x\to e^x

\cos x\to\sin x

\sin x\to-\cos x

Formes composées

u'u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}

\;\dfrac{u'}{u}\to\ln|u|

\;u'e^{u}\to e^{u}

\;\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\to 2\sqrt{u}

Condition initiale

Une seule primitive

F+c

vérifie

F(x_0)=y_0

: on écrit la primitive générale, on remplace

x

par

x_0

, on résout en

c

Erreurs fréquentes

Oublier la constante quand on cherche « une primitive » sans condition.

Écrire ln x au lieu de ln|x| sur un intervalle où x < 0.

Confondre u′/u (→ ln|u|) et u′uⁿ.

Recoller deux primitives d'intervalles différents avec la même constante.

Exemple corrigé

Énoncé

Déterminer une primitive de

f(x)=\dfrac{3x^2+2}{x^3+2x+1}

sur un intervalle où

x^3+2x+1>0

, puis de

g(x)=(2x+1)\,e^{x^2+x}

Correction

Pour $f$ . On pose

u(x)=x^3+2x+1

;

u'(x)=3x^2+2

, donc

f=\dfrac{u'}{u}

. Une primitive est

F(x)=\ln(x^3+2x+1)

Pour $g$ . On pose

u(x)=x^2+x

;

u'(x)=2x+1

, donc

g=u'e^{u}

Une primitive est

G(x)=e^{x^2+x}

Vérification :

G'(x)=(2x+1)e^{x^2+x}=g(x)

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Déterminer la primitive

F

f(x)=4x^3-6x+1

telle que

F(0)=2

Voir la correction

F(x)=x^4-3x^2+x+c

F(0)=c=2

, donc

F(x)=x^4-3x^2+x+2

Exercice 2

Moyen

Déterminer une primitive de

f(x)=\dfrac{x}{x^2+4}

sur

\mathbb{R}

Voir la correction

f(x)=\dfrac12\cdot\dfrac{2x}{x^2+4}=\dfrac12\dfrac{u'}{u}

avec

u=x^2+4>0

. Une primitive est

F(x)=\dfrac12\ln(x^2+4)

Exercice 3

Difficile

Déterminer une primitive de

f(x)=\cos x\,e^{\sin x}

sur

\mathbb{R}

et de

g(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}}

Voir la correction

Pour

f

u=\sin x

u'=\cos x

, donc

f=u'e^{u}

F(x)=e^{\sin x}

. Pour

g

u=x^2+1

u'=2x

, donc

g=\dfrac{u'}{\sqrt u}

G(x)=2\sqrt{x^2+1}

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Questions fréquentes

Toute fonction admet-elle une primitive ?

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. C'est le résultat qui fonde le calcul intégral.

Pourquoi « ln|x| » et pas « ln x » ?

1/x est défini pour x < 0 et x > 0. Sur l'intervalle négatif, une primitive est ln(−x) ; l'écriture ln|x| couvre les deux cas.

Comment reconnaître une forme u′/u ?

Le numérateur est, à un coefficient près, la dérivée du dénominateur. On ajuste le coefficient : la primitive est ln|dénominateur|.